Wildberger, N. J. (2011-2020). “Elementary Mathematics (K-6) Explained”. The University of New South Wale.

Introduction

Norman Wildberger souhaite refonder l’enseignement des mathématiques élémentaires.

Il prend notamment le parti d’employer des exemples tirés plutôt des mathématiques, et non d’objets du quotidien comme cela se fait habituellement dans les manuels, car il estime les exemples mathématiques sont souvent plus informatifs et intéressants.

1. Dénombrement à l’aide du plan quadrillé

Définition

Déf. mathématiques : « sens commun, usage précis du langage et raisonnement logique, appliqués à l’étude des régularités (patterns) abstraites et à la résolution de problèmes ».

L’étude des régularités abstraites correspond plutôt à l’aspect théorique et pur des mathématiques, tandis que la résolution de problèmes correspond à son aspect appliqué.

Les deux branches les plus importantes et fondamentales des mathématiques sont l’arithmétique et la géométrie.

1.1 Plan quadrillé (cartésien)

Plutôt que de commencer par la géométrie euclidienne (Euclide, 300 av. J.-C.) basée sur une page vide, nous allons démarrer par la géométrie cartésienne (Descartes & Fermat, 1600) qui révolutionna la géométrie en se basant sur une page possédant une structure — un plan quadrillé (grid plane).

Définitions

Déf. plan quadrillé : « lignes droites horizontales et verticales également espacées ».

Définition

Déf. points (nœuds) : « intersections des lignes (là où elles se rencontrent) ».

Définition

Déf. carrés unitaires (cellules) : « plus petites subdivisions du plan par des lignes ».

Définition

Déf. segments unitaires (barres) : « plus petites subdivisions des lignes par d’autres lignes ».

On remarque que l’on discute d’emblée du sens des mots.
Dans la vie quotidienne, on emploie souvent des mots définis approximativement, qui suffisent dans la plupart des contextes (par ex. un chien est un « animal à quatre pattes avec un museau et qui aboie »), mais qui de ce fait conduisent parfois à certains ambiguïtés (par ex. un loup satisfait à la définition précédente alors qu’il n’est pas un chien). Par contre les mathématiques, elles, nécessitent des définitions précises et une terminologie qui reste cohérente.

Toutefois, l’on y trouve aussi beaucoup de conventions implicites. Explicitons-en ici quelques unes afin de lever des ambiguïtés :

le plan quadrillé est extensible (autant que nécessaire) sans limites dans les 4 directions,
les lignes sont parallèles (ne se rencontrent jamais si on les étend) ou perpendiculaires,
L’épaisseur des lignes et des points est négligeable et est représentée de façon très mince,
les barres incluent les 2 points à leurs extrémités,
les cellules incluent leurs 4 côtés (barres), et donc aussi leur 4 coins (points),
horizontal signifie orienté sur l’axe gauche-droite ; vertical signifie orienté sur l’axe haut-bas,
la couleur des lignes n’est pas pertinente,
la taille des cellules n’a pas à être la même d’un plan cartésien à l’autre — elle n’est pas pertinente — : si l’on transpose une même figure géométrique d’un plan cartésien à un autre ayant une échelle différente, elle aura alors un apparence visuelle différente, mais demeurera mathématiquement parlant la même chose.
etc.

Il n’est pas évident de définir la perpendicularité. Par exemple, Euclide en proposa la définition suivante :

« Lorsqu’une droite tombant sur une autre droite fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun des angles est dit droit ; et la droite qui tombe sur l’autre en formant des angles droits est appelée perpendiculaire. »
— Euclide, Éléments, Livre I, Définition 10 (300 av. J.-C.)

En revanche, on peut donner plusieurs exemples permettant de comprendre facilement l’idée : le coin d’une feuille A4 est perpendiculaire, la jonction de la lettre « T » est perpendiculaire, etc.

1.2 Segments et rectangles

Définition

Déf. segment : « partie d’une ligne entre 2 points, incluant ces 2 extrémités (points) ».

Définition

Déf. rectangle : « subdivision du plan par 2 lignes horizontales et 2 lignes verticales, incluant ses 4 côtés (segments) et 4 coins (points).

1.3 Notations

Conventions de nommage pour distinguer différents objets d’un même type :

points : $A$ , $B$ , $C$ , …
lignes : $l$ , $m$ , $n$ , …
segments : $s$ , $r$ , $t$ , …
rectangles : $X$ , $Y$ , $Z$ , …

On caractérise :

une ligne par 2 points lui appartenant, par exemple $m = A C = C A = A D = D A = C D = D C$
un segment par ses extrémités (points), par exemple $s = \overline{A B} = \overline{B A}$
un rectangle par :
- ses 4 coins dans un ordre adjacent, par exemple $X = \overline{C D E F} = \overline{F E D C}$
- ou 2 de ses segments perpendiculaires, par exemple $X = \overline{r t} = \overline{t r} = \overline{t u} = \overline{u t} = \overline{uv} = \overline{v u} = \overline{v r} = \overline{r v}$

1.4 Longueur et aire

Définition

Déf. La longueur d’un segment $s$ est le nombre de segments unitaires qu’il contient.

notée $∣ s ∣$

Définition

Déf. L’aire d’un rectangle $X$ est le nombre de carrés unitaires qu’il contient.

notée $∣ X ∣$

Définition

Déf. La dimension d’un rectangle $X$ est le nombre $m$ de rangées et et $n$ de colonnes qu’il contient.

notée $dim (X) = m \times n$

ou $dim (X) = (m, n)$ pour ne pas confondre avec l’opération de multiplication.

Exemples :

Longueur de segments :

$∣ s ∣ = 3$
$∣ t ∣ = 1$
$∣ r ∣ = 5$

Dimensions et aires de rectangles

$dim (X) = (3, 1)$ ou $3 \times 1$ et $∣ X ∣ = 3$
$dim (Y) = (2, 4)$ ou $2 \times 4$ et $∣ Y ∣ = 8$
$dim (Z) = (1, 5)$ ou $1 \times 5$ et $∣ Z ∣ = 5$

Astuce

On peut aussi déterminer l’aire d’un rectangle de dimension $m \times n$ en calculant le produit (résultat de la multiplication) de ses dimensions $m$ et $n$ , car cela revient à compter le nombre de carrés unitaires qu’il contient.

1.5 Dénombrement

1.5.1 Basique

Exercice 1.1 – Dénombrement de points

W : 24 points.

Régularité

Il y a $a \cdot b$ cellules dans les rectangles de dimension $a \times b$ .
On remarque qu’il y a $(a + 1) \cdot (b + 1)$ points dans les rectangles.

Dans le rectangle W de $5 \times 3$ il y a donc $(5 + 1) \cdot (3 + 1) = 6 \cdot 4 = 24$ points

Exercice 1.2 – Dénombrement de sous-rectangles

W : 8 sous-rectangles de $2 \times 2$ .

Régularité

On remarque qu’il y a $(a - 1) \cdot (b - 1)$ sous-rectangles $2 \times 2$ dans le rectangle.

Dans le rectangle W de $5 \times 3$ il y a donc $(5 - 1) \cdot (3 - 1) = 4 \cdot 2 = 8$ sous-rectangles $2 \times 2$ .

1.5.2 Chemins

Exercice 1.3 – Dénombrement de chemins

W : 15 chemins.

Régularité

Si $a$ ou $b$ est égal à $1$ , il n’y a qu’un chemin :
$chem (1, b) = chem (a, 1) = 1$
Si $a$ ou $b$ est égal à $2$ et que l’autre est supérieur à 1, alors il y a autant de chemins que l’autre :
$chem (2, b) = b (avec b > 1) chem (a, 2) = a (avec a > 1)$
En comptant le nombre de chemins dans les rectangles de tailles croissantes :

b = 3 b = 4 b = 5
a = 2 $3$ $4$ $5$
a = 3 $3 + 3 = 6$ $4 + 6 = 10$ $5 + 10 = 15$
a = 4 $6 + 4 = 10$ $10 + 10 = 20$ $15 + 20 = 35$

On remarque que :
$chem (a, b) = chem (a - 1, b) + chem (a, b - 1)$
Dans le rectangle $W$ de $5 \times 3$ , il a donc :
$chem (5, 3) = chem (4, 3) + chem (5, 2) = (chem (3, 3) + chem (4, 2)) + 5 = (chem (2, 3) + chem (3, 2)) + 4 + 5 = 3 + 3 + 9 = 15$

Solution plus élégante :

Grok 4.3 Expert

Argument combinatoire direct

Voici une version plus précise, étape par étape, de l’interprétation combinatoire qui permet de passer directement de la géométrie du problème à la formule fermée, sans passer par la récurrence.

1. Que doit-on faire concrètement pour aller du départ à l’arrivée ?

On considère une grille avec :

a lignes de carrés (cellules),

b colonnes de carrés.

On part du carré inférieur gauche et on veut arriver au carré supérieur droit, en ne se déplaçant que d’une case vers le haut ou vers la droite.

Pour y parvenir :

Il faut monter de la ligne du bas jusqu’à la ligne du haut.
→ On doit donc effectuer exactement (a − 1) déplacements vers le haut.
(Chaque déplacement vers le haut fait passer d’une ligne à la ligne supérieure.)

Il faut aller à droite de la colonne de gauche jusqu’à la colonne de droite.
→ On doit donc effectuer exactement (b − 1) déplacements vers la droite.

Important :

On ne peut jamais descendre ni aller à gauche (règle du problème).

On ne peut pas non plus « sauter » des lignes ou des colonnes.

Donc tout chemin valide est constitué uniquement de ces deux types de déplacements, et exactement dans ces quantités : (a−1) « H » et (b−1) « D ».

Le nombre total de déplacements dans chaque chemin est donc toujours :
$(a - 1) + (b - 1) = a + b - 2$

2. Une fois qu’on sait cela, que fait-on ?

On abandonne temporairement la géométrie de la grille.

Le problème se réduit maintenant à une question purement combinatoire (de comptage de suites) :

Combien existe-t-il de séquences différentes de longueur ( a + b - 2 ),
qui contiennent exactement (a−1) lettres « H » (haut)
et exactement (b−1) lettres « D » (droite) ?

C’est tout.
Chaque séquence différente correspondra à un ordre différent d’exécution des déplacements, donc à un chemin différent sur la grille.

3. Comment compter ces séquences ?

On a :

Un total de N = a + b − 2 positions dans la séquence (comme des cases vides à remplir).

On doit placer exactement k = a − 1 lettres « H » dans ces positions.

Les positions restantes seront automatiquement remplies par des « D ».

Le nombre de façons de choisir k positions parmi N est donné par le coefficient binomial :

$(k N) = (a - 1 a + b - 2)$

C’est la définition même du coefficient binomial :

$(k N)$ = nombre de façons de choisir k éléments parmi un ensemble de N éléments, sans tenir compte de l’ordre.

Chaque choix différent des positions des « H » donne une séquence unique, donc un chemin unique.

4. Exemple concret (pour bien voir)

Prenons un petit rectangle : a = 3 lignes, b = 2 colonnes.

Nombre de « H » nécessaires : 3−1 = 2

Nombre de « D » nécessaires : 2−1 = 1

Longueur totale des séquences : 2 + 1 = 3

On cherche toutes les séquences de 3 lettres contenant exactement 2 « H » et 1 « D ».

Les possibilités sont :

Séquence Chemin correspondant Valide ?
H H D Haut → Haut → Droite Oui
H D H Haut → Droite → Haut Oui
D H H Droite → Haut → Haut Oui

Il y en a exactement 3.

Et la formule donne :
$(3 - 1 3 + 2 - 2) = (2 3) = 3$

Parfaitement d’accord.

Autre exemple rapide : pour le rectangle W (5 × 3) dont tu parlais,

(5−1) = 4 « H »

(3−1) = 2 « D »

Total : 6 déplacements

Formule : $(4 6) = 15$ (ou $(2 6) = 15$ )

5. Pourquoi cet argument est-il complet et rigoureux ?

Exhaustivité : Tout chemin possible sur la grille correspond à une telle séquence (parce qu’on ne fait que des H et des D, et on en fait exactement le bon nombre).

Injectivité : Deux séquences différentes donnent deux ordres différents de déplacements → deux chemins différents.

Surjectivité : Toute séquence de (a−1) H et (b−1) D peut être réalisée sur la grille sans jamais sortir des limites (car on ne fait jamais de mouvement interdit, et la grille est rectangulaire sans obstacles).

Donc il y a une bijection parfaite entre les chemins et ces séquences.

C’est pour cela que le nombre de chemins est exactement égal au coefficient binomial.

6. Lien avec la récurrence que tu avais

La récurrence
$chem (a, b) = chem (a - 1, b) + chem (a, b - 1)$

vient du fait que le dernier déplacement d’un chemin est soit un « H » (alors le chemin vient de la grille (a−1)×b), soit un « D » (il vient de la grille a×(b−1)).

L’interprétation combinatoire explique pourquoi cette somme donne précisément le binomial : c’est l’identité de Pascal qui traduit le fait qu’on peut classer les séquences selon leur dernière lettre.

En résumé ultra-clair :

Une fois qu’on a établi qu’il faut exactement (a−1) « H » et (b−1) « D »,
le problème devient :
« Combien de façons y a-t-il d’ordonner ces déplacements ? »
→ C’est un problème de choix de positions → coefficient binomial $(a - 1 a + b - 2)$ .

	b = 3	b = 4	b = 5
a = 2	$3$	$4$	$5$
a = 3	$3 + 3 = 6$	$4 + 6 = 10$	$5 + 10 = 15$
a = 4	$6 + 4 = 10$	$10 + 10 = 20$	$15 + 20 = 35$

Séquence	Chemin correspondant	Valide ?
H H D	Haut → Haut → Droite	Oui
H D H	Haut → Droite → Haut	Oui
D H H	Droite → Haut → Haut	Oui

1.5.3 Pavage

Exercice 1.4 – Dénombrement de pavages de dominos sur rectangle

Z : Dans un rectangle $3 \times 4$ , on peut faire 11 pavages.

Exercice 1.5 – Dénombrement de pavages de dominos sur rectangle amputé

W : Dans un rectangle $5 \times 3$ , on ne peut faire aucun pavage de dominos car il contient un nombre impair de carrés unitaires ( $3 \cdot 5 = 15$ ), alors qu’un pavage de dominos nécessite un multiple de $2$ .

W* : Dans ce rectangle $5 \times 3$ amputé du coin inférieur-droit, on peut faire 15 pavages.

Exercice 1.6 – Dénombrement de pavages de dominos sur rectangles $2 \times n$

$2 \times 1$ → $1$

$2 \times 2$ → $2$

$2 \times 3$ → $3$

$2 \times 4$ → $5$

$2 \times 5$ → $8$

$2 \times 6$ → $13$

$2 \times 7$ → $21$

Régularité

A partir de de $2 \times 3$ , on remarque que le nombre pavages est la somme des deux précédents, et suit donc la suite de Fibonacci :

Pour $n \geq 3$ :
$pav (2, n) = pav (2, n - 1) + pav (2, n - 2)$

2. Arithmétique avec les rectangles

2.1 Arithmétique

Ce cours combine les deux sujets fondamentaux des mathématiques : l’arithmétique et la géométrie.

Maîtriser l’arithmétique garantit le succès en mathématiques élémentaires.

Définition

Déf. arithmétique : « étude des nombres et des opérations sur eux ».

Il y a différents types de nombres de complexités croissantes :

nombres entiers naturels (natural numbers) : $1, 2, 3, \dots$
nombres entiers relatifs (integers) : $- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots$
fractions : $\frac{1}{2}, \frac{13}{5}, \dots$
nombres décimaux (decimals) : $12.41, \dots$

Les entiers naturels sont ceux avec lesquels on compte :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, \dots

Il s’agit du système de numération indo-arabe (800-1100 av. J-.C.) qui est probablement l‘avancée scientifique la plus importante du monde moderne. Ce système facilite grandement la manipulation de grands nombres et les calculs arithmétiques complexes qui sont laborieux dans les autres systèmes de numération :

Il y a différentes opérations :

$+$ addition
$-$ soustraction (opération inverse de l’addition)
$\times$ multiplication
$\div$ division (opération inverse de la multiplication)
^ exponentiation

L’addition et la multiplication sont les opérations les plus fondamentales et importantes de l’arithmétique.

Nous allons aborder les nombres entiers naturels ainsi que ces deux opérations avec un point de vue primitif et naturel (comme à la préhistoire ou à l’école maternelle), de manière géométrique.

2.2 Nombres entiers naturels

Définiton générale

Un nombre entier naturel est une chaîne d’objets identiques — une chaîne de uns.

qu’il s’agisse de traits sur un morceau de bois, de cailloux, de carrés, etc.

un objet seul (par ex. $∣$ ) est aussi considéré comme une chaîne de uns.

à l’oral, dans le système de numération unaire :

pour le nombre $∣$ on dit : « un »,

pour le nombre $∣∣$ on dit : « un, un »,

pour le nombre $∣∣∣$ on dit : « un, un, un »,

etc.

Il est particulièrement commode d’employer des chaînes de carrés, car visuellement on distingue mieux les différentes tailles de chaînes, et que cela permet de mettre en rapport l’arithmétique et la géométrie dans un plan quadrillé. Dans ce cours, nous emploierons donc la définition suivante :

Définition spécifique

Déf. Un nombre entier naturel est un rectangle-rangée.

une cellule seule ☐ est aussi considérée comme un rectangle-rangée (nombre « un »).

Important

C’est avec le système de numération unaire (rectangles-rangée) que les enfants devraient apprendre les bases de l’arithmétique. Il n’est pas important qu’ils apprennnent les symboles indo-arabes au début et, s’ils sont enseignés trop tôt, ils risquent même de penser que les symboles indo-arabes sont fondamentalement les nombres, alors qu’ils ne sont qu’une façon compacte et commode de désigner les nombres qui sont fondamentalement conçus comme des chaînes d’objets identiques — c’est l’aspect essentiel des nombres entiers naturels.

Les nombres servent à dénombrer (compter) et mesurer.

2.3 Compter (dénombrer)

Principe

Pour compter le nombre d’objets dans une collection, à chaque objet on associe une cellule, puis on juxtapose (met bout à bout) les cellules pour former un rectangle-rangée.

On note $∣ X ∣$ la taille de la collection X.

Exemple ci-dessus :

$∣ X ∣$ = ☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐

On dit : « un, un, un, un, un, un, un, un, un, un, un, un, un ».

2.4 Comparaisons

On peut comparer la taille de nombres de manière informelle en percevant immédiatement qu’un rectangle-rangée est beaucoup plus grande que l’autre ; mais quand ce n’est pas évident, il faut employer une méthode systématique rigoureuse qui consiste à avancer cellule par cellule en faisant correspondre à chaque fois une cellule de l’un à une cellule de l’autre.

Il y a trois (☐☐☐) relations de comparaison possibles entre deux (☐☐) nombres :

Définition

$a = b$ « $a$ égal $b$ »

$a > b$ « $a$ supérieur à $b$ »

$a < b$ « $a$ inférieur à $b$ »

A noter que la taille de la représentation d’un nombre n’est pas pertinente (ex. : ☐☐☐ = □□□).

2.5 Opérations

2.5.1 Addition

Définition

L’opération d’addition $a + b$ consiste à juxtaposer (mettre bout à bout) deux nombres pour n’en former qu’un.

on peut additioner plus de deux nombres de la même manière.

2.5.2 Multiplication

Définition

L’opération de multiplication $a \times b$ (on dit : « $a$ fois $b$ ») consiste à :

former un rectangle de dimension $a \times b$ et compter ses celulles,

ou (de manière équivalente) :

additionner $a$ termes égaux à $b$ (ce qui revient à additionner les rangées d’un rectangle de dimension $a \times b$ ).

Exemple :

Définition

Les parenthèses $(expression entre parenth \overset{e}{ˋ} ses)$ indiquent l’ordre de priorité des opérations : on doit effectuer les opérations entre parenthèses avant les autres.

Exercice 2.1 – Vérifiez les équations suivantes :

Il faut résoudre ces exercices en n’employant que les définitions données d’un nombre entier naturel et des opérations d’addition et de multiplication — il ne faut pas employer le système numéraire indo-arabe puisqu’on n’est pas censé le connaître à ce stade du cours.

Équation correcte.

Exercice 2.2 :

Équation correcte.

Exercice 2.3 :

Équation correcte.

Exercice 2.4 :

Équation correcte.

Exercice 2.5 :

Équation correcte.

En faisant ces exercices, on se rend compte que la représentation naturelle (système de numération unaire) des nombres entiers naturels rend laborieux la représentation de grands nombres et les calculs avec ceux-ci, du fait de chaînes de uns de plus en plus longues.

Les autres systèmes de numération tels que le système indo-arabe sont des notations raccourcies qui permettent de manipuler les grands nombres avec beaucoup plus d’efficience et de faciliter les opérations complexes.

3. Systèmes de numération à travers l’histoire

Nombre de civilisations ont fait face à ce même problème de l’inefficience du système de représentation unaire pour manipuler les grands nombres, alors qu’il s’agit d’un enjeu important pour gérer les stocks d’agriculture, anticiper les saisons, pour le commerce et, de manière générale, pour la vie dans une cité développée.

3.1 Avantages et inconvénients

Plusieurs systèmes ont été crées qui, chacun, rendent la représentation des grands nombres plus compacte et efficiente, mais les opérations sur ceux-ci plus difficiles, voire très difficiles.

Prenons par exemple un système de numération romain simplifié où :

☐ $= I$
$I I I I I = V$ (groupement intuitif lié au nombre de doigts d’une main)

Dans ce système, l’addition est relativement intuitive,

Exercices – Calculer les additions suivantes

$V V V I I + V V I I I = V V V V V I I I I I = V V V V V V$

Exercice 3.2

$V V V V V I I I + V I I I I = V V V V V V I I I I I I I = V V V V V V V I I$

Exercice 3.3

$V I + V I I + V I I I + V I I I I = V V V V I I I I I I I I I I = V V V V V V$

Mais il n’est pas évident de multiplier $V I \times V I I$ pour obtenir directement le produit $V V V V V V V V I I$ sans passer par une étape intermédiaire de représentation unaire.

3.2 Système de numération romain

3.3 Système de numération égyptien

Les égyptiens avaient même un symbôles pour les fractions, mais avec $1$ en numérateur (ce qu’on appelle parfois encore aujourd’hui fraction égyptienne).

3.4 Système de numération chinois

Le système chinois a davantage de points communs avec le système indo-arabe, en ce qu’il possède un symbôle pour chaque chiffre de $1$ à $9$ . Il combine aussi (verticalement) des symboles pour multiplifier des dizaines, centaines, etc.

Mais il ne s’agit toujours pas d’un système positionnel, où la position horizontale des symboles est déterminante.

3.5 Systèmes de numération grecs

Quoique les grecs étaient de manière générale plus avancés que les autres sur le plan des mathématiques, les systèmes de numérations grecs n’étaient pas très développés.

Dans leur second système où l’on associe les différentes dizaines et centaines à différentes lettres de l’alphabet, on conçoit combien les multiplications devaient être difficiles à effectuer directement, sans conversion intermédiaire dans un système unaire, et accessibles uniquemement à une petite élite intellectuelle.

3.6 Système de numération babylonien

Le système babylonien, qui est le plus ancien, emploie un système intéressant différent des autres et qui nécessite d’autres notions mathématiques pour l’appréhender.
Nous reviendrons dessus plus tard.

4. Système de numération indo-arabe

Après avoir appris le système de numération unaire (rectangles-rangée), il vaut mieux enseigner aux enfants le système de numération romain simplifié, qui est une transition facilitant l’apprentissage du système de numération indo-arabe.

4.1 Système de numération romain simplifié

Le système de numération romain simplifié est un système décimal.

Un système décimal est un système de numération dans lequel chaque chaque quantité de rangs supérieurs est égale à dix quantités de leur rang inférieur — lorsqu’on a dix mêmes quantités unités, on peut l’échanger avec une quantité de rang supérieur.

Définition

Système de numération romain simplifié

☐ $\equiv I$

$I I I I I I I I I I \equiv X$

$X X X X X X X X X X \equiv C$

$C C C C C C C C C C \equiv M$

$M M M M M M M M M M \equiv T$

Exemple :
$M C C C C C C C C C C C C X X X X X X X X X X X X X I I I I I I I I I I I = M M C C C X X X X I$

Les opérations arithmétiques, notamment la multiplication, y sont plus difficiles :

Exercice 4.1 – Calculez en romain simplifié

Calculez sans employer le système indo-arabe.

a. $X I I + X X I I I I I = X X X I I I I I I I$

b. $C X I I + C C C X I I I = C C C C X X I I I I I$

c. $I I I \times X I I = X I I + X I I + X I I = X X X I I I I I I$

d.
$X I \times X I I I = X I I I + X I I I + X I I I + X I I I + X I I I + X I I I + X I I I + X I I I + X I I I + X I I I + X I I I = X X X X X X X X X X X I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I = C X X X X I I I$
e. $C X X I \times C C X I$

Les nombres sont trop grands et il est donc trop laborieuxieux de faire simplement l’addition de chaque termes égaux à $C C X I$ comme dans (d).

Lorsqu’on fait différentes multiplications dans le système unaire en formant des rectangles pour les calculer, on se rend compte géométriquement que l’on peut décomposer une multiplication en addition de plus petites multiplications, par ex. : $X I \times I I I = (X \times I I I) + (I \times I I I)$ . Ainsi :
$C X X I \times C C X I = (C + X X I) \times (C + C X I) = (C \times C) + (C \times C X I) + (X X I \times C) + (X X I \times C X I) = T + C \times (C + X I) + M M C + (X X I \times (C + X I)) = T + (C \times C) + (C \times X I) + M M C + (X X I \times C) + (X X I \times X I) = T + T + M C + M M C + M M C + C C X X X I = T T M M M M M C C C C C X X X I$

Exercice 4.3

a. $(X I I + X I I I) + X I I I I = X X I I I I I + X I I I I = X X X I I I I I I I I I$

b. $M C X I + M M C C C X X X X I I I I I = M M M C C C C X X X X X I I I I I I$

c. $I I I I \times X X I = X X I + X X I + X X I + X X I = X X X X X X X X I I I I$

d. $C I \times X I = (C + I) \times (X I) = (C \times X I) + (I \times X I) = M C + X I = M C X I$

Exercice 4.4 – Trouvez le nombre mystère

a. $X X X I I I I I I + ? = X X X X X$

$? = X I I I I$ , car $I I I I I I + X I I I I = X X$

b. $C C C C X X X X + ? = C C C C C$

$? = X X X X X X$ , car $X X X X + X X X X X X = C$

c. $? + I I I = X X$

$? = X I I I I I I I$ , car $X I I I I I I I + I I I = X X$

d. $? + X I I I I I I = C$

$? = X X X X X X X X I I I I$ , car $X X X X X X X X I I I I + X I I I I I I = C$

4.2 Abaque

Important

L’abaque, un outil ayant été employé par la plupart des civilisations avant les calculatrices et toujours employé dans l’enseignement en Asie, est bien supérieur à la calculatrice pour apprendre l’arithmétique et, en l’espèce, les systèmes décimaux tels que le système romain simplifié ou indo-arabe.

4.3 Système de numération indo-arabe

Définition

Le système de numération indo-arabe est :

un système décimal : basé sur des puissances de $10$ ;

dans lequel chaque chiffre de ☐ à ☐☐☐☐☐☐☐☐☐ possède son propre symbôle, auxquels auquel on ajouter le symbôle $0$ (« zéro ») pour désigner l’absence de quantité :

$0$ (« zéro)

☐ $\equiv 1$ (« un »)

☐☐ $\equiv 2$ (« deux »)

☐☐☐ $\equiv 3$ (« trois »)

☐☐☐☐ $\equiv 4$ (« quatre »)

☐☐☐☐☐ $\equiv 5$ (« cinq »)

☐☐☐☐☐☐ $\equiv 6$ (« six »)

☐☐☐☐☐☐☐ $\equiv 7$ (« sept »)

☐☐☐☐☐☐☐☐ $\equiv 8$ (« huit »)

☐☐☐☐☐☐☐☐☐ $\equiv 9$ (« neuf »)

un système positionnel : la position de chaque chiffre est déterminante et correspond à différentes puissances de $10$ :

le premier chiffre en partant de la droite correspond aux unités,

le deuxième chiffre en partant de la droite correspond aux dizaines ( $10$ unités),

le troisième chiffre en partant de la droite correspond aux centaines ( $10$ dizaines),

le quatrième chiffre en partant de la droite correspond aux milliers ( $10$ centaines),

etc.

Contrairement au système de numération indo-arabe, les systèmes de numérations antérieurs sus-évoqués n’étaient pas positionnels en ce que, nonobstant la convention consistant à les présenter par symbôles constituants décroissants, ils donneraient le même nombre si l’on changeait l’ordre de ces symboles qui, en pratique, sont additionnés pour constituer le nombre.

Exemple :

Système non positionnel (romain simplifié):
$X X X X I I I = I X X I I X X = X + X + X + X + I + I + I$

Système positionnel (indo-arabe) :
$43 \neq = 34 \neq = 4 + 3$

Exemples de nombres indo-arabes :

Dans le second exemple ci-dessous, on remarque que le $0$ (désignant ici zéro centaine), quoiqu’il désigne l’absence d’unité/de quantité, doit être noté et sa position est déterminante :

Par convention, dans le monde anglo-saxon on peut mettre une virgule tous les trois chiffres à partir de la droite pour faciliter la lecture des grands nombres (ex. : $25, 017$ ). En France, la convention est plutôt d’employer un point (ex.: $25.017$ ).

Exercice 4.5 – Convertir ces nombres dans le système indo-arabe

a. $M M C C C C I I = 2, 402$

b. $T T M M X X X I I I = 22, 303$

c. $M X I I = 1012$

d.
$M C X I I + X X X X X X X X I I I I I I I I I = M C X X X X X X X X X I I I I I I I I I I I = M C X X X X X X X X X X I = M C C I = 1201$
e.
$X I \times X I I = X I I + X I I + X I I + X I I + X I I + X I I + X I I + X I I + X I I + X I I + X I I = X X X X X X X X X X X I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I = C X X X I I = 132$

5. Lois de l’arithmétique en utilisant la géométrie

5.1 Transformations dans le plan quadrillé

On peut effectuer différentes transformations géométriques le plan quadrillé.

5.1.1 Translations

Définition

Une translation simple est un déplacement d’un objet géométrique (point, segment, rectangle, etc.) d’une unité dans un des quatre sens.

$t_{g}$ : déplacement d’une unité vers la gauche

$t_{d}$ : déplacement d’une unité vers la droite

$t_{h}$ : déplacement d’une unité vers le haut

$t_{b}$ : déplacement d’une unité vers le bas

Une translation composée est une combinaison de translations simples, effectuées l’une après l’autre.

Exemple :
Translation composée $t_{g} t_{b}$ : déplacment d’une unité vers la gauche, puis d’une unité vers le bas.

5.1.2 Réflections (symétrie axiale)

Définition

Une réflexion consiste à interchanger les points d’un objet géométrique de part et d’autre d’un axe, comme s’il s’agissait d’un reflet dans un miroir.

Notons que le reflet par $r_{l}$ du rectangle $1 \times 2$ situé entre les points $B$ et $B$ ’ est similaire au rectangle original, mais ses coins sont interchangés de part et d’autre de l’axe.

Exercice 5.1

La transformation $r_{l} r_{m}$ revient à un déplacement de 4 unités vers le bas.

Exercice 5.2

La transformation $r_{l} r_{n}$ revient une symétrie (ou rotation de 180°), non pas rapport à un axe, mais par rapport au point d’intersection entre $l$ et $n$ .

Exercice 5.3

La transformation $r_{m} r_{l}$ revient à un déplacement de 4 unités vers le haut.

On remarque que $r_{m} r_{l}$ (4 unités vers le haut) ne revient pas à $r_{l} r_{m}$ (4 unités vers le bas) :

Attention

Un réflexion composée par symétries axiales n’est pas commutative.

Exercice 5.4

La transformation $r_{n r_{m}}$ revient à une symétrie (ou rotation de 180°), non par rapport à un axe, mais par rapport au point d’intersection entre $n$ et $m$ .

NOTE

On remarque que le transformation composée de deux réflexions axiales perpendiculaires semble revenir à une symétrie (ou rotation de 180°), non par rapport à un axe, mais par rapport au point d’intersection entre les deux axes.

Exercice 5.5

La transformation $r_{l} r_{n} r_{m}$ revient à $r_{n}$ puis 4 unités vers le bas, c’est-à-dire à $r_{n} r_{l} r_{m}$ .

On peut aussi effectuer des réflexions avec des axes qui ne sont pas des lignes de la grille :

Exercice 5.6

Note

On remarque que si $l$ est un axe diagonal et $m$ est un axe horizontal, les transformations $r_{l} r_{m}$ et $r_{m} r_{l}$ reviennent à une rotation de 90°, respectivement dans le sens horaire et anti-horaire, par rapport au point d’intersection entre $l$ et $m$ .

5.2 Commutativité de l’addition

NOTE

L’addition est commutative :
$a + b = b + a$
Cela s’explique géométriquement car, si l’on distingue visuellement les cellules provenant de $a$ de celles provenant de $b$ , le rectangle-rangée formé par $b + a$ est le reflet par symétrie verticale du rectangle-rangée formé par $a + b$ .

Ex. :

commutativité-addition
Lien vers l'original

5.3 Commutativité de la multiplication

La commutativité de la multiplication n’est pas évidente lorsqu’on emploie pour la multiplication l’interprétation de l’addition de $a$ termes égaux à $b$ .

Exemple :
$2 \times 5 = 5 \times 2$
☐☐☐☐☐ + ☐☐☐☐☐ = ☐☐ + ☐☐ + ☐☐ + ☐☐ + ☐☐

Mais elle le devient lorsqu’on emploie l’interprétation du rectangle de dimension $a \times b$ :

NOTE

La multiplication est commutative :
$a \times b = b \times a$
Cela s’explique géométriquement car le rectangle formé par $b \times a$ est le reflet par symétrie diagonale (ou par rotation de 90°) du rectangle formé par $a \times b$ .

Ex. :
$3 \times 4 = 4 \times 3$

6 S’amuser avec les polyominos

Le concept de polyomino est une généralisation du concept de domino :

Définition.

Un polymino est une forme géométrique constituée d’une ou plusieurs cellules adjacentes.

6.1 Polyominos identiques

On dit des polyminos obtenus par par une combinaison de translations, réflexions ou rotations d’un polymino original, qu’ils ont la même forme libre (same form).

Si les polyminos sont obtenus uniquement par une combinaison de translations, on dit qu’ils ont la même forme fixée (same shape).

Exemple :

Les polyminos ci-dessous ont tous la même forme libre, mais seuls $A$ , $B$ et $E$ ont la même forme fixée.

Il est intéressant d’essayer de dénombrer les formes libres de polyminos de différentes tailles :

6.2 Dénombrement de polyominos

6.2.1 Formes libres de polyominos

Exercice 6.1 – Dénombrez les formes libres possibles pour un pentomino

Il y a $10$ formes libres possibles de pentominos.
todo-sourcer
FAUX todo-développer

6.1.2 Pavage de polyominos

Exercice 6.2 – Dénombrez les pavages de triominos

Il y a 7 pavages possibles.
todo-sourcer

Exercice 6.3 – Montrez le théorème des triominos de Golomb

Pour une grille $4 \times 4$ , il suffit de montrer que l’on peut paver la grille pour 3 configurations de grilles amputées (cf. les 3 emplacements d’amputation numérotées dans la figure ci-dessous), car par réflexions ou rotations de ces 3 configurations, on peut créer des configuration de même forme libre avec une amputation à n’importe quel emplacement.
todo-sourcer

On effectue donc ces $3$ pavages :
todo-sourcer

Exercice 6.4 :
Même principe que dans l’exercice précédent : pour une grille $8 \times 8$ , il suffit de montrer que l’on peut paver la grille pour 10 configurations de grilles amputées :
todo-sourcer

Exercice de défi :

Les griles $4 \times 4$ et $8 \times 8$ permettaient une résolution relativement naïve, mais il serait fastidieux d’employer la même méthode pour la grille $16 \times 16$ . J’essaie donc de déterminer une méthode plus systématique.

Régularité

Sur le premier pavage de la grille $4 \times 4$ plus haut, je remarque que l’on peut paver la grille de telle manière à obtenir un sous-rectangle $2 \times 2$ dans le coin inférieur gauche, contenant la cellule amputé. Et qu’il suffisait en réalité de ce seul pavage pour produire par réflexions ou rotations de ce sous-rectangle, en gardant fixé le reste de la grille, les 3 configurations d’amputation que l’on voulait vérifier ; permettant ainsi de produire par réflexions ou rotatations (sur toute la grille) un pavage pour tous les emplacements d’amputation possibles.

De la même manière pour la grille $8 \times 8$ , il suffit de montrer que l’on peut paver une grille contenant un sous-rectangle $4 \times 4$ dans le coin inférieur gauche, car on a montré que l’on peut paver une grille $4 \times 4$ amputée quel que soit l’emplacement d’amputation, et que par réflexions ou rotations d’un tel pavage de la grille $8 \times 8$ , on peut produire un pavage de même forme libre pour tous les emplacement d’amputation possibles.
todo-sourcer

Il en va de même pour une grille $16 \times 16$ contenant un sous-rectangle $8 \times 8$ dans son coin inférieur gauche. On effectue donc ce pavage :
todo-sourcer

Défi personnel (non demandé) :
Quoique le pavage ci-dessous constitue une démonstration correcte, je me dis que réaliser ce pavage serait fastidieux pour des grilles plus grandes, et je me demande si l’on peut démontrer que ces pavages sont possibles pour toutes les autres grilles de tailles de puissance de $2$ ( $32 \times 32, 64 \times 64, 128 \times 128, \dots$ )

Puisqu’on a établi que le sous-rectangle amputé du coin inférieur gauche (constituant un quart de la grille) était toujours pavable quel que soit la taille de la grille, il faut montrer que le reste de la grille aussi est toujours pavable.

Toutes les grilles plus grandes par puissance de $2$ ont, par transformations d’agrandissement, des formes agrandies similaires sur les autres aspects à la forme originale $O$ de la grille $2 \times 2$ , notamment avec le même type de pavage que dans la zone $T_{1}$ de la grille $2 \times 2$ .

Du fait de la transformation d‘agrandissement, la zone $T_{2}$ de la grille $8 \times 8$ est pavée par des grand triominos qui ont la même forme libre que la zone $T_{1}$ de la grille $4 \times 4$ (qu’on sait être pavable), et cette zone $T_{2}$ est donc pavable.

De la même façon, la zone $T_{3}$ de la grille $16 \times 16$ est pavée par des grand triominos qui ont la même forme libre que la zone $T_{2}$ de la grille $8 \times 8$ (qu’on sait être pavable), et cette zone $T_{3}$ est donc pavable.

On donc peut généraliser en ce que, par transformations d’agrandissements de puissances de $2$ successives, la zone $T_{n}$ de la grille $(n + 1) \times (n + 1)$ est toujours pavable par des grands triominos qui ont la même forme libre que la zone $T_{n - 1}$ de la grille $n \times n$ .
todo-sourcer

Exercice 6.5 – Montrer que ce pavage avec un de chaque tetromino est impossible

Si l’on colorie la grille en damier, on se rend compte que le pavage doit nécessairement comporter $10$ cases noires et $10$ cases blanches. Or, si l’on colorie chacune des pièces en damier, on n’arrive jamais à avoir ce compte.
todo-sourcer

(J’ai par inadvertance eu un indice pour ce problème, en laissant tourner la vidéo et en voyant brièvement la grille du problème colorée en damier.)

Exercice 6.7 - Peut-on paver ce chateau avec un de chaque tetromino ?

Il y a bien le même nombre de cellules dans la grille que dans les pièces, et le même nombres de cellules noires ou blanches si l’on colorie en damier.
Ces méthodes n’éliminent donc pas la possibilité de paver.

Colonne 1 :

En testant les différentes pièces, on conclut que seule lapièce I est plaçable, verticalement, car toutes les autres pièces conduisent immédiatement ou dans un second temps à des impossibilités ultérieures de pavage ultérieures :
todo-sourcer

Colonne 2.

On emploie la même méthode (je n’ai pas pris la peine de dessiner chaque élimination) : toutes les autres pièces conduisent immédiatement où dans un second temps à des impossibiltiés ultérieures de pavage — on s‘en rend rapidement compte en essayant de placer le carré dans un second temps.

Par conséquent, il est impossible de paver le chateau.

Exercice 6.8 – Trouvez un de chaque pentomono pour une grille $3 \times 20$

Pour réduire le champ des possibles, j’ai commencé par prendre les deux pièces les plus grandes et symétriques ( $+$ et $W$ ) qui nécessitent de tester le moins de cas par rotation, pour déterminer de combien d’écarts ils devaient nécessaiement se trouver. Cela a permis de déterminer qu’il n’y a que 6 schémas possibles :
todo-sourcer

Puis j’ai ensuite coloré en damier chacun de ces schémas et chacune des pièces pour voir si certains schémas étaient globalement ou localement (certaines zones séparées par $+$ ou $W$ ) impavables, mais cela n’a permi d’éliminer aucun schéma :
todo-sourcer

J’ai ensuite procédé en testant tous les écarts possibles avec les pièces $T$ et $L$ , en notant les différentes possibilités au-dessus de chaque schéma :

une forme non barrée est une forme fixée possible située où elle est dessinée,

une forme juste barrée est une forme fixée éliminée pour la zone en-dessous d’elle,

une forme barrée et entourée est une forme libre éliminée (toutes ses formes fixées) pour la zone en-dessous d’elle.

Ensuite j’ai fait des arbres conditionnels « si…, alors… » pour tester la pavabalité d’autres pièces, en éliminant systématiquement certaines configurations.
todo-sourcer

Il s’avère que j’ai fait une erreur, non pas de raisonnement, mais d’inattention durant un décompte de cases (probablement par fatigue visuelle à force de compter des cases sur du papier quadrillé pendant des heures), en éliminant abusivement une forme fixée dans le schéma (4). Cela m’a conduit à éliminer tous les schémas tout en sachant qu’un d’entre eux devait être pavable et que j’avais forcément fait une erreur d’inattention.

Ne souhaitant pas recompter des cases pendant des heures, j’ai consulté la solution qui m’a confirmé que j’avais correctement éliminé les schéma précédent et que je venais de faire une erreur dans les 5 dernières minutes en comptant des cases pour le schéma (4). Après avoir recompté les cases pour ce schéma, j’ai poursuivi ma méthode systématique qui a bien abouti au pavage de la réponse.

Cela permet de se rendre compte de l’utilité des logiciels informatiques d’assistance de preuves que l’on emploie aujourd’hui dans la recherche en mathématiques, qui permettent entre autres choses d’éviter ces erreurs d’inattention en y rédigeant le raisonnement mathématique correct, sous la forme d’un algorithme, permettant ensuite au logiciel de tester de manière fiable les différentes possibilités.

Pour une grille $4 \times 15$ :

todo-développer faire éventuellement un jour cet exercice pour le jeu.

Même méthode que pour la grille $3 \times 20$ .

Il serait fastidieux de compter encore et encore des cases en courant d’ailleurs le risque de faire une erreur d’inattention comme pour la grille précédente. Il me semble que le plus important est d’avoir trouvé une méthode systématique.

Pour une grille $5 \times 12$ :

todo-développer faire éventuellement un jour cet exercice pour le jeu.

Même méthode que pour la grille $3 \times 20$ .

Pour une grille $6 \times 10$ :

todo-développer faire éventuellement un jour cet exercice pour le jeu.

Il serait fastidieux de compter encore et encore des cases en courant d’ailleurs le risque de faire une erreur d’inattention comme pour la grille précédente. Il me semble que le plus important est d’avoir trouvé une méthode systématique.

7 Addition et noms des nombres

Il y a généralement 3 étapes dans l’apprentissage de l’addition :

additionner des nombres de $1$ à $5$ ,
additionner des nombres de $1$ à $10$ ,
additionner n’importe quels nombres.

7.1 Addition de nombres de $1$ à $5$

Additioner 1 à un nombre nous donne le prochain nombre, et ce de manière commutative :

Additionner 2 à un nombre nous donne le nombre après le prochain.
On peut voir l’addition de 2 comme l’addition de 1, puis l’addition de 1 une deuxième fois :

On peut organiser les résultats sous la forme d’une table d’addition :

Présentation plus efficiente de la table d’addition :

On peut additioner en s’aidant des doigts de main, comme le faisant vraisemblablement déjà nos ancêtres.

Les étudiants doivent devenir familier avec :

l’ordre des nombres : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$
l’idée que dans cette suite, on augmente de 1 le nombre lorqu’on va vers la droite (addition), et que l’on réduit de 1 lorsqu’on va vers la gauche (soustraction) ;
l’idée que lorsqu’on augmente de $1$ un terme de l’addition, tout en réduisant de $1$ l’autre terme, on obtient le même résultat :
- $2 + 5 = 7$
- $3 + 4 = 7$
- $4 + 3 = 7$
- $5 + 2 = 7$

7.2 Addition de nombres de $1$ à $10$

Important

Dans un premier temps, il faut faire beaucoup de répétitions de ces additions pour bien comprendre les raisons des résultats et régularités de la table d’addition

Mais ensuite, il faut apprendre par coeur les résultats de la table d’addition afin d’être capable d’effectuer ces additions instantanément, sans avoir à réfléchir ou compter sur ses doigts.

L’efficience et l’agilité en la matière est importante car on effectue souvent ces additions dans la vie.

7.3 Noms des nombres

Les conventions française et anglaise de dénomination des nombres sont parfois illogiques, arbitraires et inefficientes.

Wildberger estime que les conventions de nommages utilisées en Asie sont plus logiques et facilitent l’apprentissage de l’arithmétique en montrant l’aspect régulier et logique des mathématiques, plutôt qu’en devant mémoriser des choses arbitraires.

Wildberger estime qu’une convention plus logique pour l’anglais (et le français) consisterait par exemple à employer les termes des nombres décimaux pour dire :

« dix un » plutôt que « onze »,
« dix deux » plutôt que « douze »,
« dix trois » plutôt que « treize »,
…
« deux dix » plutôt que « vingt ».

Il utilisera ces deux conventions dans le reste de ce cours.

8 L’addition en pratique

8.1 Associativité de l’addition

Puisque l’addition est une opération portant sur 2 nombres, pour additionner 3 nombres on doit les additionner en plusieurs étapes, deux à deux. Cela peut se faire de deux manières :

Ex. :
$(3 + 1) + 2 = 4 + 2 = 6$
$3 + (1 + 2) = 3 + 3 = 6$

NOTE

L’addition est associative :
$(a + b) + c = a + (b + c)$

Cela s’explique géométriquement parce qu’on obtient un rectangle-rangée de même taille lorsqu’on change la priorité d’addition (les cellules de différentes teintes de vert sont additionnées en premier).

Ex. :

associativité-addition
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Exercice 8.1 – Calculer de deux manières

i)
$(3 + 2) + 6 = 5 + 6 = 11$
$3 + (2 + 6) = 3 + 8 = 11$

ii)
$(6 + 7) + 4 = 13 + 4 = 17$
$6 + (7 + 4) = 6 + 11 = 17$

iii)
$(8 + 1) + 9 = 9 + 9 = 18$
$8 + (1 + 9) = 8 + 10 = 18$

Exercice 8.2 – Associativité pour une addition de 4 termes :

$(2 + 3) + (7 + 4) = 5 + 11 = 16$
$2 + (3 + (7 + 4)) = 2 + (3 + 11) = 2 + 14 = 16$
$(2 + (3 + 7)) + 4 = (2 + 10) + 4 = 12 + 4 = 16$
$((2 + 3) + 7) + 4 = (5 + 7) + 4 = 12 + 4 = 16$

Exercice 8.3 – Nombre d’associations possibles :

Il y a 5 associations possibles : les 4 de l’exercice (8.2) et $2 + ((3 + 7) + 4) = 2 + (10 + 4) = 2 + 14 = 16$ .

Exercice 8.4 – Combinaison d’associativité et commutativité :

$(8 + 5) + 6 = 13 + 6 = 19$
$8 + (5 + 6) = 8 + 11 = 19$
$(5 + 8) + 6 = 13 + 6 = 19$
$(6 + 5) + 8 = 11 + 8 = 19$
$5 + (6 + 8) = 5 + 14 = 19$

Exercice 8.5 – Nombre de combinaisons d’additions possibles :

$(5 + 6) + 8$
$5 + (6 + 8)$
$(5 + 8) + 6$
$5 + (8 + 6)$

$(6 + 5) + 8$
$6 + (5 + 8)$
$(6 + 8) + 5$
$6 + (8 + 5)$

$(8 + 5) + 6$
$8 + (5 + 6)$
$(8 + 6) + 5$
$8 + (6 + 5)$

Il ya 12 combinaisons possibles.

Exercice 7.6 :

Il y a 6 combinaisons possibles :

$(3 + 3) + 7$
$3 + (3 + 7)$
$(3 + 7) + 3$
$3 + (7 + 3)$

$(7 + 3) + 3$
$7 + (3 + 3)$

8.2 Nombres pairs et impairs

8.2.1 Nombres pairs

Dans la table d’addition, les nombres pairs sont ceux apparaissant dans la diagonale : $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 8, 20, \dots$

$1+1=2\quad$$2+2=4\quad$ $3+3=6\quad$$4+4=8\quad$$5+5=10\quad$
$6 + 6 = 12$ $7 + 7 = 14$ $8 + 8 = 16$ $9 + 9 = 18$ $10 + 10 = 20$

Définition

Les nombres pairs (even numbers) sont les nombres multiples de 2 :
$2 \times n$

Géométriquement, ils correspondent aux rectangles de dimension $2 \times n$ :

Exercice 8.8

Principe

Les nombres finissant par les chiffres $2, 4, 6, 8, 0$ sont pairs.

8.2.2 Nombres impairs

Définition

Les nombres impairs (odd numbers) sont les nombres allant aussi de deux en deux, mais à partir de 1 :
$1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, \dots$

Géométriquement, ils correspondent à ces formes :

Les nombres impairs sont alternés avec les nombres pairs :

Les nombres pairs peuvent être pratiques pour compter plus vite, deux à deux, les objets d’une collection.

Exercice 8.7

Principe

Les nombres finissant par les chiffres $1, 3, 5, 7, 9$ sont impairs.

8.2.3 Addition de nombres pairs et impairs

Principe

Lorsqu’on additionne (« → » signifie « donne ») :

Pair + Pair → Pair

Pair + Impair → Impair

Impair + Impair → Pair

(on aurait aussi pu rotationner de 180° le seconde figure pour l’emboîter avec la première afin de former un rectangle)

9 Multiples et plus de noms de nombres

9.1 Multiples de $10$

Définition

Les multiples de $10$ sont :
$10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120 \dots$

géométriquement, ils correspondent aux rectangles de dimension $10 \times n$ .

Avec :

$10 + 10 = 20$
$20 + 10 = 30$
$30 + 10 = 40$
$\dots$
$90 + 10 = 100$

Principe

Les nombres finissant par le chiffre $0$ sont des multiples de $10$ .

Nombres	Noms français	Noms français plus logiques (suggestion)	Noms anglais	Noms anglais plus logiques (suggestion)
$10$	dix	dix	ten	ten
$20$	vingt	deux dix	twenty	two ten
$30$	trente	trois dix	thirty	three ten
$40$	quarante	quatre dix	forty	four ten
$50$	cinquante	cinq dix	fifty	five ten
$60$	soixante	six dix	sixty	six ten
$70$	soixante-dix	sept dix	seventy	seven ten
$80$	quatre-vingt	huit dix	eighty	eight ten
$90$	quatre-vingt-dix	neuf dix	ninety	nine ten
$100$	cent	cent	one hundred	hun

9.2 Noms des autres nombres à partir de $20$

Il suffit d’ajouter le nom des chiffres des unités :

Exemples :

Nombres	Noms français	Noms français plus logiques (suggestion)	Noms anglais	Noms anglais plus logiques (suggestion)
$23$	vingt-trois	deux dix trois	twenty-three	two ten three
$39$	trente-neuf	trois dix neuf	thirty-nine	three ten nine
$77$	soixante-dix-sept	sept dix sept	seventy-seven	seven ten seven
$143$	cent-quarante-trois	cent quatre dix trois	one hundred (and) forty-three	hun four ten three

9.3 Multiples de $5$

Définition

Les multiples de $5$ sont :
$5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, \dots$

géométriquement, ils correspondent aux rectangles de dimension $5 \times n$ :

Principe

Les nombres finissant par les chiffres $5, 0$ sont des multiples de $5$ .

9.4 Multiples de $4$

Définition

Les multiples de $4$ sont :
$4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, \dots$

géométriquement, ils correspondent aux rectangles de dimension $4 \times n$ :

Il s’agit par ailleurs de tous les deux nombres pairs :
$2 [4] 6 [8] 10 [12] 14 [16] 18 [20] 22 [24] 26 [28] \dots$

9.5 Multiples de $3$

Définition

Les multiples de $3$ sont :
$3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, \dots$

géométriquement, ils correspondent aux rectangles de dimension $3 \times n$ :

Quand on cherche le prochain multiple dans une série, on peut se contenter de n’additionner le multiple qu’au dernier chiffre du nombre précédent dans la série :

Exemple :
$30 + 3 = 33$ car $0 + 3 = 3$
$33 + 3 = 36$ car $3 + 3 = 6$
$36 + 3 = 39$ car $6 + 3 = 9$

Mais il faut ajouter une retenue lorsque l’addition du dernier chiffre a un résultat supérieur à $9$ :

Exemple :
$39 + 3 = 42$ car $9 + 3 = 12$

Exercice 9.1

Compter jusqu’à $100$ de $1$ en $1$ :
$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100$

Compter jusqu’à $100$ de $2$ en $2$ :
$2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100$

Compter jusqu’à $100$ de $10$ en $10$ :
$10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100$

Compter jusqu’à $100$ de $5$ en $5$ :
$5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100$

Compter jusqu’à $100$ de $4$ en $4$ :
$4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100$

Compter jusqu’à $100$ de $3$ en $3$ :
$3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102$

Exercice 9.2

Compter à l’envers à partir de $60$ de $1$ en $1$ :
$60, 59, 58, 57, 56, 55, 54, 53, 52, 51, 50, 49, 48, 47, 46, 45, 44, 43, 42, 41, 40, 39, 38, 37, 36, 35, 34, 33, 32, 31, 30, 29, 28, 27, 26, 25, 24, 23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0$

Compter à l’envers à partir de $60$ de $2$ en $2$ :
$60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46, 44, 42, 40, 38, 36, 34, 32, 30, 28, 26, 24, 22, 20, 18, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0$

Compter à l’envers à partir de $60$ de $10$ en $10$ :
$60, 50, 40, 30, 20, 10, 0$

Compter à l’envers à partir de $60$ de $5$ en $5$ :
$60, 55, 50, 45, 40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0$

Compter à l’envers à partir de $60$ de $4$ en $4$ :
$60, 56, 52, 48, 44, 40, 36, 32, 28, 24, 20, 26, 22, 18, 14, 10, 6, 2$

Compter à l’envers à partir de $60$ de $3$ en $3$ :
$60, 57, 54, 51, 48, 45, 42, 39, 36, 33, 30, 27, 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0$

10 Problèmes de mots employant l’addition

Méthode

Les problèmes de mots basés sur l’addition sont généralement des problèmes visant à déterminer un total, un gain, une augmentation, etc.

La résolution d’un problème de mathématiques consiste à prouver une solution — à expliciter les étapes pertinentes d’un raisonnement permettant d’aboutir à une solution —, en terminant par la conclusion qui doit être exprimée en langage ordinaire et refléter la question initialement posée.

Le coeur du raisonnement d’un tel problème consiste généralement à déterminer les objets de même nature — de même unité — qu’il faut ajouter, et à effectuer une addition.

On n’évoque pas d’unités durant l’addition ; les unités sont employées lors des explications en langage ordinaire et dans la conclusion.

Exemple :
Sue achète $7$ oranges et $6$ pommes. Combien de fruits a-t-elle acheté ?

Solution :
$7 + 6 = 13$
Elle a acheté $13$ fruits.

Exemple :
Fred a marché $5$ km le matin et $4$ km l’après-midi. Quelle distance a-t-il marché en tout ?

Solution :
$5 + 4$
En tout, il a marché $9$ km.

Exemple :
Cette année mes vacances vont durer une semaine et 4 jours. Combien de jours mes vacances vont-elles durer ?

Solution :
Une semaine contient $7$ jours, donc en tout j’aurai $7 + 4 = 11$ jours de vacances.

Exemple :
Combien de lettres contient l’expression “Easter Bunny” ?

Solution :
“Easter” a $6$ lettres et “Bunny” a “5 lettres”, donc l’expression conteient $6 + 5 = 11$ lettres.

Exemple :
Carl a obtenu $ $12$ de sa tante, $ $9$ de son oncle, et $ $3$ de sa soeur. Combien a-t-il obtenu en tout ?

Solution :
Puisque $12 + 9 + 3 = 21 + 3 = 24$ , Carl a obtenu $ $24$ en tout.

Exemple :
Au début du mois, Joe avait $ $14$ , alors qu’à la fin du mois il avait $ $19$ . Combien de plus avait-il à la fin du mois qu’au début ?

Solution :
$14 + ? = 19$ donc $? = 5$
Joe avait $ $5$ de plus à la fin du mois.

Exemple :
Combien de carrés y a-t-il dans cette image ?

Solution :
Il y a $4$ petits carrés et $1$ grand carré, pour un total de $4 + 1 = 5$ carrés.

Exemple :
Combien de droites passant exactement par $3$ points peuvent être tracées ?

Solution :
On peut tracer $3$ droites horizontales, $3$ droites verticales et $2$ droites diagonales, pour un total de $3 + 3 + 2 = 6 + 2 = 8$ droites.

Exercice 10.1 – Résoudre les problèmes de mots

Ensemble, ils ont $13 + 13 + 1 = 26 + 1 = 27$ pommes.

Exercice 10.2

En tout, il a $7 + 8 + 2 = 15 + 2 = 17$ dollars.

Exercice 10.3

Il y a 4 petits rectangles (carrés), $1$ grand rectangle (carré), $2$ moyens rectangles horizontaux et $2$ moyens rectangles verticaux, pour un total de $4 + 1 + 2 + 2 = 5 + 4 = 9$ rectangles.

Exercice 10.4

“How” contient $3$ lettres, “Many” contient $4$ lettres, “letters” contient $7$ lettres, $in$ contient $2$ lettres, “this” contient $4$ lettres et “sentence” contient $8$ lettres, pour un total de $3 + 4 + 7 + 2 + 4 + 8 = 7 + 9 + 12 = 16 + 12 = 28$ lettres.

Exercice 10.5

En tout, elle a reçu $8 + 13 + 3 = 21 + 3 = 24$ courriels.

Exercice 10.6

En une semaine, elle dort $8 + 8 + 8 + 8 + 7 + 7 + 7 = 16 + 16 + 14 + 7 = 32 + 21 = 53$ heures.

11 Géométrie projective élémentaire (droites)

Définition

La géométrie projective est la géométrie des droites.

Créée initialement par Pappus d’Alexandrie (300 ans après J.-C.) en Grèce antique, puis étendue par Desargues (1600) et Pascal, puis Monge (1800).

Il s’agit d’une géométrie sans plan quadrillée, antérieure à la géométrie cartésienne (plan quadrillé) et plus élémentaire, ne se basant que sur deux types de constructions :

tracer une droite (line) passant par deux points préexistants ;
créer un point d’intersection entre deux droites sécantes préexistantes.

11.1 Terminologie

Définitions

Des points colinéaires sont des points reposant sur une même droite.

Des droites concourantes sont des droites passant par un même point.

Définition

Un côté est deux points.

Un triangle est trois points.

Un quadrangle est quatre points

Un sommet (vertex) est deux droites se croisant.

Un trilatère est trois droites.

Un quadrilatère est quatre droites.

Un triangle ou quadrangle dont tous les points sont colinéaires, ou un trilatère ou quadrilatère dont les droites sont superposées ou concourantes sont dits dégénérés.

11.2 Conjectures

11.2.1 Quadrangle

Effectuons étape par étape les constructions possibles à partir du quadrangle $\overline{A B C D}$ :

Transclude of _/excalidraw/wildberger-k-6-géométrie-projective-conjecture1

Lorsqu’on joint les $4$ points primaires (rouges) $A, B, C, D$ , on obtient ci-dessous :

$6$ droites primaires (noires),
$3$ points secondaires (verts) $E, F, G$ .

Transclude of _/excalidraw/wildberger-k-6-géométrie-projective-conjecture2

Lorsqu’on joint les trois points secondaires (verts) $E, F, G$ , on obtient ci-dessous :

$3$ droites secondaires (rouges),
$6$ points tertiaires (bleus) $H, I, J, K, L, M$ .

Transclude of _/excalidraw/wildberger-k-6-géométrie-projective-conjecture3

Lorsqu’on joint les cinq points tertiaires (bleus) $H, I, J, K, L, M$ , on obtient ci-dessous :

4 droites tertaires (vertes),
il est remarquable que chacune des droites (vertes) tertiaires passe par $3$ points (bleus) tertaires, qui sont donc colinéaires.

Transclude of _/excalidraw/wildberger-k-6-géométrie-projective-conjecture4

Or, si l’on fait la même construction en partant d’un autre quadrilatère, on obtient aussi cette propriétré remarquable. On peut donc conjecturer (émettre l’hypothèse forte) que ce soit le cas pour tous les quadrilatères — que l’on peut trouver un théorème.

Définition

Un théorème est une propriété démontrée, importante et non évidente de tout objet mathématique partageant de mêmes caractéristiques.

11.2.1 Quadrilatère

Si l’on part plutôt d’un quadrilatère $\overline{q r s t}$ :

Transclude of _/excalidraw/wildberger-k-6-géométrie-projective-conjecture5

On part des $4$ droites $p, q, r, s$ primaires et on obtient ci-dessous :

$6$ points primaires $A, B, C, D, E, F$ (rouges)
$3$ droites secondaires (rouges)

Transclude of _/excalidraw/wildberger-k-6-géométrie-projective-conjecture6

Puis on part des trois droites secondaires (rouges) et on obtient ci-dessous :

$3$ points secondaires (verts)
$6$ droites tertaires (vertes)

Transclude of wildberger-k-6-géométrie-projective-conjecture7

Puis on part des

6

droites tertiaires (vertes) et on obtient :

$4$ points tertiaires (bleus),
il est remarquable qu’en chacun des points tertiaires (bleus) concourent $3$ droites tertiaires (vertes).

Transclude of wildberger-k-6-géométrie-projective-conjecture8

En partant d’un quadrilatère, on obtient la même séquence $4, 6, 3, 3, 6, 4$ qu’en partant d’un quadrangle. Mais on part de $4$ points pour le quadrangle, en alternant point, droite, point, droite, …, et terminant par $4$ droites ; tandis qu’on part de $4$ droites pour le quadrilatère en alternant droite, point, droite, …, et terminant par $4$ points.

On peut conjecturer là aussi des théorèmes.

12 Pappus & Pascal

Notations :

$A B$ : droite passant par les points $A$ et $B$
$A ’ B ’$ : droite passant par les points $A ’$ et $B ’$
$(A B) (A ’ B ’)$ : point d’intersection des droites $A B$ et $A ’ B ’$

12.1 Théorème de Pappus

Théorème de Pappus

Si les points $A, B, C$ sont colinéaires et $A ’, B ’, C ’$ sont colinéaires, alors les points $(A B ’) (A ’ B), (A C ’) (A ’ C), (B C ’)^{'} (B ’ C)$ sont colinéaires.

Autre exemples :

Exercice 12.1 – Dessinez plusieurs autres exemples

todo-sourcer

12.2 Théorème de Pascal

Blaise Pascal (1623-1662), prodige, physicien, mathématicien étudiant de G. Desargues (fondateur de la géométrie projective moderne), philosophe, écrivain.

Pascal étend le théorème de Pappus aux points reposant sur un cercle :

Théorème de Pascal

Si les points $A, B, C, A ’, B ’, C ’$ sont sur un cercle, alors les points $(A B ’) (A ’ B), (A C ’) (A ’ C), (B C ’)^{'} (B ’ C)$ sont colinéaires.

Exercice 12.2 – Dessinez 3 autres exemples

todo-sourcer

12.3 Démonstration (preuve) mathématique

Les mathématiques ne consistent pas qu’à apprendre des définitions et algorithmes pour obtenir tel ou tel résultat ; elles consistent en grande partie à démontrer (prouver) des théorèmes.

Toutefois, nous nous contenterons d’admettre sans démonstrations les théorèmes sus-mentionnés parce que leurs démonstrations dépassent le niveau de ce cours.

13 Raisonnement logique avec le Morpion (stratégies)

13.1 Jeu du Morpion

Règles du Morpion (tic-tac-toe) :
Deux joueurs, employant respectivement les symboles $X$ (qui démarre la partie) et $O$ remplissent tour à tour un tour une grille de $3 \times 3$ . Le premier à obtenir ses $3$ symboles alignés (horizontallement, verticalement ou diagonalement) l’emporte.

Exercice 13.1 – Jouer plusieurs parties en essayant plusieurs startégies

todo-sourcer

13.1.1 Stratégie niveau basique

Principe

Une stratégie consiste à planifier (prévoir de faire) des actions selon des circonstances potentielles.

Une stratégie est généralement hiérarchique : on doit effectuer les actions planifiées par ordre de priorité.

Règle 1 : si l’on peut en aligner 3 (lors de ce coup), il faut le faire.
Règle 2 : si l’adversaire peut en aligner 3, il faut l’en empêcher.

13.1.2 Stratégie niveau avancé

Une double menace est un coup qui permet d’en aligner 3 au prochain coup de deux manières possibles :

Règle 1 : si l’on peut en aligner 3, il faut le faire.
Règle 2 : si l’adversaire peut en aligner 3, il faut l’en empêcher.
Règle 3 : si l’on peut faire une double menace, il faut le faire.
Règle $4$ : si l’adversaire peut faire une double-menace, il faut l’en empêcher.

13.1.3 Stratégie niveau expert

Règle 1 : si l’on peut en aligner 3, il faut le faire.
Règle 2 : si l’adversaire peut en aligner 3, il faut l’en empêcher.
Règle 3 : si l’on peut faire une double menace, il faut le faire.
Règle $4$ : si l’adversaire peut faire une double menace, il faut l’en empêcher.
Règle 5 : si l’on peut préparer le terrain pour faire une double menace au coup d’après, il faut le faire.
Règle 6 : si l’adversaire peut préparer le terrain pour faire une double menace au coup d’après, il faut l’en empêcher.

Exemples d’application des règles 5 et 6 :

la configuration initiale est en bleu,

le premier coup de en $X$ vert force $O$ en vert à l’empêcher d’en aligner 3 (Règle 2),

le second coup de $X$ en vert fait une double menace.

Les différents cas de l’exemple ci-dessus enseignent une stratégie pour le joueur $O$ lors de son premier coup, sans laquelle il risque de perdre à coup sûr face à un joueur expert :

si le premier coup de $X$ est au centre, $O$ ne doit jour que dans les coins,
si le premier coup de $X$ est un coin, $O$ ne doit jouer qu’au centre,
si le premier coup de $X$ est un côté, $O$ ne doit jouer qu’au centre ou dans un coin adjacent.

Cela enseigne aussi que la meilleure stratégie pour le premier coup de $X$ est de jouer un coin, car c’est le coup qui induit chez $O$ (qui ne doit alors jouer qu’au centre face à un expert) le plus de de possibilités d’erreurs garantissant la victoire si elles étaient commises, en ceci qu’elles permettraient subséquemment de préparer le terrain pour faire une double menace comme dans les exemples ci-dessus.

13.2 Jeu de la Pipopipette

Règles de la Pipopipette (dots and boxes) :
Deux joueurs $A$ et $B$ relient tour à tour, horizontalement ou verticalement, deux points adjacents d’une grille $2 \times 2$ . Lorsque un joueur créé un carré unitaires, il note sont symbôle dans ce c arre et rejoue un tour. Lorsque tous les points sont reliés, le gagnant est le joueur ayant créé le plus de carrés.

Exercice 13.2 – Déterminer les meilleures stratégies pour $A$ et $B$ sur une grille $2 \times 1$

Distingons bord supérieur (3 cotés du carré supérieur), centre (coté commun aux deux carrés) et bord inférieur.

Voici les cas pertinents pour les premiers coups des deux joueurs (les autres cas sont symétriques de ceux-ci) :
todo-sourcer

Stratégie niveau basique :

Règle 1 : si l’on peut compléter un carré, il faut le faire.

Règle 2 : il ne faut pas pemettre à l’adevrsaire de compléter un carré.

Stratégie niveau avancé :

Règle 1 : si l’on peut compléter un carré, il faut le faire.

Règle 2 : il ne faut pas pemettre à l’adevrsaire de compléter un carré.

Règle 3 : s’il y a 1 bord supérieur et 1 bord inférieur, il faut jouer au centre.

Règle 4 : s’il y a 1 bord supérieur/inférieur et 2 bord inférieur/supérieur, il faut jouer du côté où il n’y a qu’1 bord.

Stratégie niveau expert :

Le joueur A doit jouer son premier coup au centre (stratégie IV), sans quoi B pourra gagner à tous les coups (stratégies I-1,2,3) ; et A doit jouer son deuxième coup sur le bord opposé au premier coup de B pour obtenir un ex aequo (stratégie IV-2).

Si A fait l’erreur de ne pas jouer son premier coup au centre, alors B peut l’emporter à tous les coups s’il joue son premier coup sur le même bord que A (stratégies I-1,2,3).

Puis :

Règle 1 : si l’on peut compléter un carré, il faut le faire.

Règle 2 : il ne faut pas pemettre à l’adevrsaire de compléter un carré.

Règle 3 : s’il y a 1 bord supérieur et 1 bord inférieur, il faut jouer au centre.

Règle 4 : s’il y a 1 bord supérieur/inférieur et 2 bord inférieur/supérieur, il faut jouer du côté où il n’y a qu’1 bord.

13.3 Jeu de Sprouts

Jeu inventé par le mathématicien John Conway.

Règles de Sprouts :
Deux joueurs relient tour à tour deux points et créent un nouveau point sur cette liaison.
Conditions de liaisons :

une liaison ne peut pas en croiser une autre,
trois liaisons au plus peuvent concourir en un même point,
un point peut être relié à lui-même (boucle),
Le joueur ayant créé la dernière laison possible l’emporte.

Exercice 13.3 – Déterminer les meilleures stratégies pour les deux joueurs sur 2 points.

todo-sourcer

Stratégie :

$A$ est vainqueur dans tous les cas sauf si :

Si $B_{1}$ relie les deux extrémités et $A 2$ relie une de ces mêmes extrémités au point généré par $B 1$ .

Si $B_{1}$ crée une boucle à une extrémité et $A 2$ relie le point généré par $B_{1}$ avec le point généra par $A 1$ .

14 Table de multiplication

Table de multiplication jusqu’à $5$

Important

Il faut apprendre par coeur les résultats de la table de multiplication afin d’être capable d’effectuer ces multiplications instantanément, sans avoir à réfléchir ou compter sur ses doigts.

L’efficience et l’agilité en la matière est importante car on effectue souvent ces multiplications dans la vie.

La table de multiplication a une propriété rectangle : chaque nombre correspond au nombre de cellules du rectangle formé par l’entrée dans la ligne et la colonne de la table.

Exemple :
Sur la photo ci-dessus, $12$ est le nombre de cellules dans le rectangle $3 \times 4$ visible dans la table.

Définition

Les nombres carrés sont les nombres obtenus par la multiplication d’un nomre avec lui-même :
$n \times n$

Exercice 14.1 – Calculer

i) $2 \times 3 = 6$
ii) $4 \times 1 = 4$
iii) $5 \times 2 = 10$
iv) $4 \times 5 = 20$
v) $1 \times 3 = 3$
vi) $2 \times 2 = 4$

Exercice 14.2 – Trouver le nobre mystère

i) $4 \times ? = 12$
$? = 3$

ii) $3 \times ? = 6$
$? = 2$

iii) $? \times 5 = 5$
$? = 1$

iv) $? \times 3 = 15$
$? = 5$

v) $4 \times 2 = ?$
$? = 8$

vi) $(3 \times ?) \times 2 = 6$
$? = 1$

Exercice 14.3 – Insérez la bonne relation entre ces multiplications: $<$ , $=$ , $>$

i) $3 \times 4 > 5 \times 2$
ii) $4 \times 1 = 2 \times 2$
iii) $3 \times 5 < 4 \times 4$
iv) $1 \times 5 < 2 \times 3$
v) $4 \times 3 = 3 \times 4$
vi) $5 \times 4 < 5 \times 5$

Problèmes de mots

Exemple :
Combien y a-t–il de jambes dans un groupe de quatre personnes ?

Solution : Il y a $2$ jambes par personne donc $4 \times 2 = 8$ jambes en tout.

Exemple :
J’ai reçu trois lettres par jour pendant cinq jours. Cobien de lettres ai-je reçu en tout ?

Solutions : J’ai reçu $5 \times 3 = 15$ lettres en tout.

15 Plus de multiplication : table jusqu’à $10$

Important

Il faut apprendre par coeur les résultats de la table de multiplication afin d’être capable d’effectuer ces multiplications instantanément, sans avoir à réfléchir ou compter sur ses doigts.

L’efficience et l’agilité en la matière est importante car on effectue souvent ces multiplications dans la vie.

Pour apprendre la table, il est plus facile de commencer par :

les multiples de $1$
les multiples de $10
les multiples de $2$ (nombres pairs)
les multiples de $5$
etc.

Principe

Si l’on oublie un élément de la table, on peut se servir comme repère d’un élément proche que l’on a retenu.

Exemple :
$9 \times 8 = (8 \times 8) + 8 = 64 + 8 = 72$
On a pris ici comme repère le nombre carré $8 \times 8 = 64$ .

Attention

Wildberger estime que c’est une mauvaise idée d’apprendre des tables de $12$ comme cela se fait dans certaines écoles, parce que la table de $10$ est suffisante dans le système décimal puisque les choses se répetent pour les nombres supérieurs.

16 Astuces pour la multiplication

16.1 Multiplication par $10$

Principe

Pour multiplier un nombre $n$ par $10$ , il suffit d’ajouter un $0$ à son écriture (dans le système de numération indo-arabe).

Preuve :
Puisqu’une multiplication $10 \times n$ peut être interprétée comme le nombre de cellules dans le rectangle de dimension $10 \times n$ , et que la multiplication est commutative, cela revient donc au nombre de cellules dans le rectangle de dimension $n \times 10$ .

Ou, selon l’autre interprétation de la multiplication, à l’addition de $n$ termes égaux à $10$ .

Dans le sysème de numération positionnel indo-arabe, cela donne donc $n$ dizaines et $0$ unités : on ajoute un $0$ à l’écriture de $n$ .

Exemple :
$10 \times 3$

16.2 Vérification pair/impair

On n’apporte pas la preuve mais on peut vérifier l’intuition géométrique que :

Principe

$pair \times n = pair$

$impair \times impair = impair$

Exemple:
$7 \times 8 = 59$ ?
→ C’est impossible car le résultat d’une multiplication par $8$ (pair) devrait être pair.

16.3 Vérification multiples de $5$

Principe

$5 \times pair$ finit par $0$

$5 \times impair$ finit par $5$

Preuve :
Cela s’explique par la propriété d’associativité de la multiplication (qu’on n’a pas encore vue) :
$5 \times pair = 5 \times (2 \times n) = (5 \times 2) \times n = 10 \times n$

16.4 Multiples de $3$

Principe

La somme des chiffres d’un nombre multiple de $3$ est un multiple de $3$ .

On n’apporte pas la preuve.

Exemple :
$18$ → $1 + 8 = 9$
Puisque $9$ est multiple de $3$ (car $3 \times 3 = 9$ ), alors $18$ est multiple de $3$ (avec $3 \times 6 = 18$ ).

16.5 Multiples de $9$

Principe

La somme des chiffres d’un nombre multiple de $9$ est un multiple de $9$ .

On n’apporte pas la preuve.

Exemple :
$54$ → $5 + 4 = 9$
Puisque $9$ est multiple de $9$ (car $9 \times 1 = 9$ ), alors $54$ est multiple de $9$ (avec $9 \times 6 = 54$ ).

16.6 Multiplication par $9$

Principe

Pour multiplier un nombre $n$ par $9$ , on peut multiplier $n$ par $10$ puis soustraire $n$ .

Exemple :
$9 \times 6 = (10 \times 6) - 6 = 60 - 6 = 54$

Exercice 16.1 – Calculer

i) $3 \times 6 = 18$
ii) $7 \times 2 = 14$
iii) $4 \times 9 = 36$
iv) $8 \times 5 = 40$
v) $9 \times 6 = 54$
vi) $8 \times 8 = 64$

Exercice 16.2 – Trouver le nombre mystère

i) $4 \times ? = 24$
$? = 6$

ii) $7 \times ? = 63$
$? = 9$

iii) $? \times 5 = 40$
$? = 8$

iv) $? \times 6 = 54$
$? = 9$

v) $6 \times 3 = ?$
$? = 18$

vi) $(2 \times ?) \times 3 = 24$
$2 \times ? = 8$
$? = 4$

Exerice 16.1 – Insérez la bonne relation entre ces multiplications: $<$ , $=$ , $>$

i) $3 \times 5 > 2 \times 7$
ii) $6 \times 5 = 3 \times 10$
iii) $6 \times 8 < 7 \times 7$
iv) $2 \times 9 = 3 \times 6$
v) $4 \times 7 > 7 \times 3$
vi) $10 \times 8 < 9 \times 9$

16.6 Problèmes de mots employant la multiplication

Exemple :
Tom a trois repas par jour gratuits pendant une semaine dans un hôtel. Combien de repas gratuits a-t-il en tout ?

Solution :
$1 semaine = 7 jours$
En tout il a $7 \times 3 = 21$ repas gratuits

Exemple :
Chaque invité à la fête de Sue a mangé $6$ crackers au saumon. En tout, $48$ crackers ont été mangés. Combien d’invités y avait-il à la fête ?

Solution :
$? \times 6 = 48$
$? = 8$
Il y avait 8 invités à la fête.

17 Problèmes d’aire employant la multiplication

Puisque la multiplication $m \times n$ est le nombre de cellules dans le rectangle de dimension $m \times n$ , il s’agit donc de l’aire de ce rectangle.

Les grecs anciens (~ -300 av. J.-C. à 700), qui se représentaient les nombres comme des segments, intérprétaient déjà la multiplication comme un rectangle, formé par ces segments :

Principe

On peut calculer l’aire d’une forme géométrique complexe en la découpant ou la réorganisant en parties plus simples : en rectangles dont on additionne les aires.

On peut découper une même forme complexe de différentes manières :

On peut réorganiser une forme pour la rendre plus simple, par exemple en décalant (ou déplacant les deux cellules de son extrémité) la dernière rangée de la forme ci-dessous pour former un simple rectangle :

On peut intuitiveent soustraire (retirer) l’aire d’un rectangle de la taille d’un trou :

Exercice 17.1 – Calculer l’aire de ces formes :

i) On ajoute la cellule isolée au rectangle :
$A = (6 \times 4) + 1 = 24 + 1 = 25$

ii) On prend deux cellules isolées de la première rangée pour compléter le trou de la dernière, puis on ajoute la cellule isolée restante au rectangle ainsi formé :
$A = (7 \times 6) + 1 = 42 + 1 = 43$

iii) On ajoute les deux cellules isolée de la première rangée et celle de la dernière rangée, au rectangle :
$A = (4 \times 6) + 2 + 1 = 24 + 3 = 27$

iv) On soustrait les deux petits rectangles-de la taille des trous au grand rectangle :
$A = (7 \times 10) - (1 \times 3) - (2 \times 1) = 70 - 3 - 2 = 65$

18 L’échelle de temps de la vie humaine

Les nombres servent à dénombrer (compter) et mesurer.

Jusqu’ici, nous avons principalement considéré les nombres de manière abstraite. Mais il est utile de relier les nombres à des choses de la vie de tous les jours, notamment pour comparer les grandeurs relatives de ces choses.

18.1 Mesurer le temps

On peut par exemple mesurer le temps, et nos mesures de temps se basent sur les découvertes astronomiques :

Ci-dessus, on voit que la terre, rotationnant de façon anti-horaire tout en tournant aussi de façon anti-horaire autour du soleil, est légèrement penché — de 22 à 24.5° — par rapport à cette trajectoire de révolution autour du soleil.

Quand, du fait de cet angle, le pole sud est plus proche du soleil et le pôle nord plus éloigné, les saisons y sont alors respectivement d’été et d’hiver ; et les saisons s’inversent lorsque, de l’autre côté de la trajectoire de révolution autour du soleil, le pole sud devient plus éloigné et le pôle nord plus proche.

jour : durée que la terre met pour rotationner sur son axe,
mois : [~28 jours] environ la durée que la lune met pour faire une révolution autour de la terre (par convention, on a par la suite modifié la durée du mois en 30-31 jours qu’une année soit plus facilement divisible en mois),
année : [~365 jours] durée de révolution de la terre autour du soleil.

Les saisons (4 saisons de 3 mois dans les deux pôles) sont particulièrement utiles pour :

évaluer les migrations d’animaux,
les plantations de culture et récoltes,
l’élevage et reproduction des animaux,
déterminer les vacances, paiement d’impôts, etc.

L’année est une unité importante sur terre dont on se sert pour :

mesurer une vie humaine

Du fait du système de numération indo-arabe décimal, on considère utile d’évoquer des échelles de temps multiples de $10$ :

décennie : $10$ ans,
siècle : $10$ décennies

18.2 Échelle de temps de la vie humaine

On peut considérer des périodes plus ou moins précises de la vie humaine :

18.3 Échelle de temps de la vie de différentes espèces

On peut comparer des grandeurs de différentes espèces.

Durées de vie maximales :

Durées de vie moyennes :

19 Introduction à la mesure

19.1 Quantification et échelles de mesure

Nombre d’aspects du monde impliquent des notions de relativité : plus grand/petit que, plus chaud/froid que, plus léger/lourd que, etc.

Principe

On peut quantifier ces propriétés relatives en les reliant à des nombres qui dénote leur degré sur une échelle de mesure (scale) indiquant l’étendue possible de ces valeurs.

Exemple :
Échelle d’âge d’une personne — l’âge d’une personne est un nombre sur cette échelle.

19.2 Systèmes métrique & impérial

La plupart des pays emploient le système de mesure métrique d’origine française, calibré sur le système décimal (utilisant des préfixes tels que mili-, centi-, déci-, kilo-, …) et s’étant imposé dans la science et l’ingénierie ; tandis que les États-Unis emploient souvent le système de mesure impérial, d’origine britannique ne reposant pas sur le système décimal et employant des unités adaptées aux échelles humaines du quotidien (taille de pied, de pas, etc.).

Voici quelques unités souvent employées :

Grandeur	Unités du système métrique	Unités du système impérial
Temps	jour, mois, année, seconde, minute, heure	-
Longueur/distance	mètre, kilomètre	foot, yard, mile
Poids	gramme, kilogramme, t onne	pounds (lbs), ounce, ton
Aire	mètre carré, kilomètre carré	square feet, square mile, acre
Volume	litre, mètre cube	pint, quart
Température	degré Celcius	degré Fahrenheit

19.3 Règle (outil) pour mesurer une longueur/distance

Principe

On peut construire une règle — au sens d’outil physique — en inscrivant des traits à intervalles réguliers sur un objet long et droit comme une bande de papier.

Voici une règle d’un mètre et une règle d’un pied (foot) :

mètre = 100cm (centimètres)
foot = 12” (inches)
yard = $3$ ’ (feet)

Exemples de mesures :

Wildberger mesure 177cm, soit 5 feet et 9-10 inches (5’9” – 5’10”).

Son livre, Divine Proportions : Rational Trigonometry to Universal Geometry (2005), mesure 25cm x 18cm, soit 10” x 7”.

Le tableau blanc de son cours mesure 60cm x 88cm, soit 2’ x 2’11”.

Exercice 19.1

todo

20 Mesurer un poids

20.1 Systèmes métrique & impérial (suite)

Définition

La métrologie est la science de la mesure.

L’humanité a connue moult systèmes de mesure dont les premiers sont apparue en Mésopotamie ancienne (Sumériens 3000 av. J.-C., Akkadiens 2200 av. J.-C., Babyloniens 1900 av. J.-C., etc.) à la métrologie parfois complexe.

Par exemple le système babylonien était basé sur des multiples de $60$ :

180 she = 1 gin (1 she avait le poids d’un grain d’orge)
60 gin = 1 mana (1 mana = ½ kg, soit 1 lb)
60 mana = 1 gu

Les systèmes de mesure ont fini par converger en les systèmes métrique et impérial, que l’on peut mettre en relation :

🟡1 kg = 2.2 lbs

On remarque que le système métrique, prenant le parti de s’appuyer sur la logique du système décimal, emploie des multiples de 10 (et souvent de 1000) ; tandis que le système impérial ne respecte pas une telle logique et préfère employer des échelles intuitives pour le quotidien (longueur de pied, de pas, etc.) :

🟡1kg = 1000 grams
🟡1 lb = 16 ounces

20.2 Balances

20.2.1 Types de balance

Par le passé, l’humanité employait des balances à plateaux (balance) où deux même poids sont à l’équilibre :

Aujourd’hui on emploie généralement des balances plus modernes (scale), à pression, digitales, etc.

20.2.2 Lire une balance

Principe

Sur une balance (ou une règle pour mesurer une distance/longueur), toutes les gradations ne sont pas numérotées, il faut donc déterminer le nombre implicitement associé à certaines gradations en se repérant à partir des gradations explicitement numérotées.

Lorsqu’on lit visuellement l’indicateur visuel d’une balance (ou d’une règle), l’indicateur de mesure ne tombe généralement pas exactement sur une gradation — sur un nombre exact —, et même lorsqu’il semble tomber dessus, on ne peut pas en être sûr à l’oeil nu. Par conséquent la mesure sur une balance ou une règle est généralement approximative : on détermine le nombre le plus proche de l’indicateur et on l’introduit par le symbôle $≃$ d’égalité approximative.

Exercice 20.1
todo-développer

20.3 Standards de poids

En 1795, on a commencé par définir le kilogramme dans le système métrique comme étant le poids du volume d’eau dans un cube de 10cm de côtés.

Mais en se rendant compte que le volume de l’eau pouvait varier avec la température, on est passé à un autre standard censé être plus stable : la France conservait alors un cylindre de plutonium estimé à 1 kg et pris comme référence dans le monde entier.

Ce standard posant finalement aussi un problème, certes moindre, de variablité, l’on est donc passé à un standard plus stable basé sur la mécanique quantique et la constante de Planck.

20.4 Comparaison de poids

Exemples de poids de différentes choses :

Chose	Poids en kilogrammes	Poids en pounds
brique	3 kg	6 lbs
chat	5 kg	11 lbs
enfant d’1 an	10 kg	21 lbs
enfant de 10 ans	32 kg	70 lbs
piano	200 kg	400 lbs
lion	250 kg	550 lbs
ours polaire	900 kg	2000 lbs
éléphant	5000 kg	11,000 lbs
baleine bleue	130,000 kg	290,000 lbs

Exercice 20.4 – Problèmes de mots
todo-reformuler

21 Peser avec les grammes et ounces

Explorateur

Wildberger, N. J. (2011-2020). “Elementary Mathematics (K-6) Explained”. The University of New South Wale.

Introduction

1. Dénombrement à l’aide du plan quadrillé

1.1 Plan quadrillé (cartésien)

1.2 Segments et rectangles

1.3 Notations

1.4 Longueur et aire

1.5 Dénombrement

1.5.1 Basique

1.5.2 Chemins

1. Que doit-on faire concrètement pour aller du départ à l’arrivée ?

2. Une fois qu’on sait cela, que fait-on ?

3. Comment compter ces séquences ?

4. Exemple concret (pour bien voir)

5. Pourquoi cet argument est-il complet et rigoureux ?

6. Lien avec la récurrence que tu avais

1.5.3 Pavage

2. Arithmétique avec les rectangles

2.1 Arithmétique

2.2 Nombres entiers naturels

2.3 Compter (dénombrer)

2.4 Comparaisons

2.5 Opérations

2.5.1 Addition

2.5.2 Multiplication

3. Systèmes de numération à travers l’histoire

3.1 Avantages et inconvénients

3.2 Système de numération romain

3.3 Système de numération égyptien

3.4 Système de numération chinois

3.5 Systèmes de numération grecs

3.6 Système de numération babylonien

4. Système de numération indo-arabe

4.1 Système de numération romain simplifié

4.2 Abaque

4.3 Système de numération indo-arabe

5. Lois de l’arithmétique en utilisant la géométrie

5.1 Transformations dans le plan quadrillé

5.1.1 Translations

5.1.2 Réflections (symétrie axiale)

5.2 Commutativité de l’addition

commutativité-addition

5.3 Commutativité de la multiplication

6 S’amuser avec les polyominos

6.1 Polyominos identiques

6.2 Dénombrement de polyominos

6.2.1 Formes libres de polyominos

6.1.2 Pavage de polyominos

7 Addition et noms des nombres

7.1 Addition de nombres de 1 à 5

7.2 Addition de nombres de 1 à 10

7.3 Noms des nombres

8 L’addition en pratique

8.1 Associativité de l’addition

associativité-addition

8.2 Nombres pairs et impairs

8.2.1 Nombres pairs

8.2.2 Nombres impairs

8.2.3 Addition de nombres pairs et impairs

9 Multiples et plus de noms de nombres

9.1 Multiples de 10

9.2 Noms des autres nombres à partir de 20

9.3 Multiples de 5

9.4 Multiples de 4

9.5 Multiples de 3

10 Problèmes de mots employant l’addition

11 Géométrie projective élémentaire (droites)

11.1 Terminologie

11.2 Conjectures

11.2.1 Quadrangle

11.2.1 Quadrilatère

12 Pappus & Pascal

12.1 Théorème de Pappus

12.2 Théorème de Pascal

12.3 Démonstration (preuve) mathématique

13 Raisonnement logique avec le Morpion (stratégies)

13.1 Jeu du Morpion

13.1.1 Stratégie niveau basique

13.1.2 Stratégie niveau avancé

7.1 Addition de nombres de $1$ à $5$

7.2 Addition de nombres de $1$ à $10$

9.1 Multiples de $10$

9.2 Noms des autres nombres à partir de $20$

9.3 Multiples de $5$

9.4 Multiples de $4$

9.5 Multiples de $3$

Table de multiplication jusqu’à $5$

15 Plus de multiplication : table jusqu’à $10$

16.1 Multiplication par $10$

16.3 Vérification multiples de $5$

16.4 Multiples de $3$

16.5 Multiples de $9$

16.6 Multiplication par $9$