Vitesse instantanée

1. Qu’est-ce qu’une vitesse ?

1.1 Ébauche définitoire de Galilée

Galilée avança la première ébauche définitoire de la vitesse :

« Par mouvement uniforme, j’entends celui dans lequel un mobile parcourt des espaces égaux en des temps égaux quelconques. » (Galilée, 1638)¹

Il se focalisait alors sur les mouvements uniformes unidirectionnels, rectilignes ou projectiles (paraboliques standard), et pouvait déterminer les vitesses et positions des objets. Il étudiait les mouvements projectiles en décomposant astucieusement leurs vitesses sur des axes horizontal et vertical, puis en effectuant un calcul de recombinaison de leurs grandeurs respectives par le théorème de Pythagore, préfigurant en quelque sorte le calcul vectoriel.
Quoiqu’il ne s’interessait pas aux mouvements non unidirectionnels, sa définition de la vitesse permettait en principe des les étudier.

Cette ébauche galiléenne de vitesse et sa technique de décomposition horizontale et verticale étaient toutefois limitées en ce qu’elles ne permettaient pas d’étudier certains types de mouvements :

trajectoires courbes arbitraires (circulaires, elliptiques, spirales, cycloïdes, etc.) ;
trajectoires fermées (faisant un « retour au point de départ ») ;
mouvements avec changements continus de direction en 2D/3D (orbites planétaires, mouvements hélicoïdaux, zigzags complexes, etc).

Aujourd’hui, on présente généralement cette idée galiléenne sous une forme plus intelligible en l’appelant vitesse scalaire moyenne. Cf. extrait de MIT 8.01x – Physics I: Classical mechanics (Lewin, 1999)² introduisant cette idée dans le cadre des mouvements rectilignes :

2.1.1 Vitesse scalaire moyenne

Définition

La vitesse scalaire moyenne (speed) d’un objet entre les instants $t_{initial}$ et $t_{final}$ , est le rapport de la distance totale $d$ qu’il a parcourue entre ces instants, sur l’intervalle de temps $Δ t$ écoulé entre ces instants.
$\overset{v}{ˉ}_{t_{i} t_{f}} = \frac{distance totale parcourue}{t _{f} - t _{i}} = \frac{d}{Δ t}$

Une vitesse scalaire moyenne ne peut jamais être négative, car une distance est un scalaire et n’a donc pas d’orientation et de sens négatif.

La vitesse scalaire moyenne est invariante au changement de repère (que l’on a choisi arbitrairement) par translation ou rotation — en l’occurrence pour les mouvements rectilignes, à l’inversion à du sens positif de $x$ .

2.1.1.1 Interprétation géométrique

Ex : Mouvement sur 1 dimension.

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1.2 Définition minimale de Newton

En 1679-1680, Newton prit conscience que la force centripète gravitationnelle modifie à la fois la grandeur et la direction de la vitesse. Il réalisa que, sans une vitesse orientée, on ne peut pas décrire les orbites (Lune, planètes, etc.).³ En 1684, il définit alors l’idée de vitesse comme grandeur vectorielle.⁴

Cf. extraits de MIT 8.01x – Physics I: Classical mechanics (Lewin, 1999)² introduisant cette idée dans le cadre des mouvements rectilignes :

2.1.2 Vitesse vectorielle moyenne

Définition

La vitesse vectorielle moyenne (velocity) d’un objet entre les instants $t_{initial}$ et $t_{final}$ , est le rapport du changement de position $Δ x$ (composante $x$ du vecteur déplacement) de l’objet, de sa position à $t_{initial}$ à sa position à $t_{final}$ ; sur l’intervalle de temps $Δ t$ écoulé entre ces instants.
$\overset{ˉ}{v}_{t_{i} t_{f}} = \frac{x ( t _{f} ) - x ( t _{i} )}{t _{f} - t _{i}} = \frac{Δ x}{Δ t}$

Une vitesse vectorielle moyenne peut être négative, car un déplacement est un vecteur et peut donc avoir une orientation négative, traduite par une composante $x$ négative.

Attention

La vitesse vectorielle moyenne est invariante au changement de repère (que l’on a choisi arbitrairement) par translation, mais sensible au changement de repère par rotation — en l’occurrence pour les mouvements rectilignes, à l’inversion du sens positif de $x$ .

2.1.2.1 Interprétation géométrique

Ici, la vitesse vectorielle moyenne de $t_{1}$ à $t_{4}$ est très inférieure à la vitesse scalaire moyenne.

On peut aussi évoquer le cas de la vitesse vectorielle moyenne de $t_{1}$ à $t_{5}$ qui est nulle, car l’objet ne change pas de position de sa position à $x (t_{1})$ à sa position à $x (t_{5})$ ; alors que la vitesse scalaire moyenne est grande, car l’objet parcourt une grande distance en faisant l’allé $x (t_{1})$ à $x (t_{3})$ et le retour $x (t_{3})$ à $x (t_{5})$ .

Une courbe représentant $x (t)$ donne la position d’un objet à n’importe quel moment.

Géométriquement, la vitesse vectorielle moyenne est la pente (angle $α$ ) de la droite sécante à la courbe en $t_{i}$ et $t_{f}$ :

pente positive → vitesse vectorielle moyenne positive

pente négative → vitesse vectorielle moyenne négative.

pente nulle → vitesse vectorielle moyenne nulle.

Ici, la vitesse vectorielle moyenne $\overset{ˉ}{v}_{t_{2} t_{3}}$ est la pente $α$ de la droite sécante (rouge) à la courbe en $t_{2}$ et $t_{3}$ .
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En outre, cette définition vectorielle permet de décrire les mouvements que l’ébauche définitoire galiléènne ne permettait pas d’étudier (trajectoires courbes arbitraires, trajectoires fermées et mouvements avec changement continus de directions en 2D/3D).

Noyau dur conceptuel

La vitesse vectorielle moyenne, en ce qu’elle est compatible avec les lois de la dynamique newtonienne et qu’elle accomplit l’ambition galiléènne de décrire la vitesse pour tout type de mouvement, constitue la définition minimale d’une vitesse — elle fait partie du noyau dur conceptuel (invariable et incontestable) de la recherche en physique.

2. Qu’est-ce qu’une « vitesse instantanée » ?

2.1 Définition standard

La « vitesse (vectorielle) instantanée » est généralement définie comme dans cet extrait de MIT 8.01x – Physics I: Classical mechanics (Lewin, 1999)² introduisant cette idée dans le cadre des mouvements rectilignes :

2.1.3 Vitesse instantanée

Définition

La vitesse (vectorielle) instantanée d’un objet à l’instant $t$ est la limite, quand l’intervalle de temps infinitésimal $Δ t$ tend vers $0$ , du rapport de changement de position (composante $x$ du vecteur déplacement) de l’objet, de sa position à $t$ à sa position à $t + Δ t$ infinitésimalement proche ; sur l’intervalle de temps infinitésimal $Δ t$ .
$v_{t} = Δ t \to 0 lim \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t} = \frac{d x}{d t}$

Infinitésimal au sens mathématique de tendant vers 0 : se rapprochant autant que possible de 0 mais non nul.

2.1.3.1 Interprétation géométrique

Géométriquement, la vitesse instantanée $v_{t}$ est la pente de la droite tangente à la courbe à $t$ .

Le point en $t_{2}$ étant fixe, on remarque que lorsque $Δ t$ diminue en tendant vers $0$ , le second point ( $t_{2} + Δ t$ ) d’intersection de la droite sécante (grise) à la courbe se rapproche du premier ( $t_{2}$ ) ; et cette droite s’approche donc de la tangente à la courbe en $t_{2}$ .

Ici, la vitesse instantanée $v_{t_{2}}$ est la pente de la droite (rouge) tangente à la courbe en $t 2$ .
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2.2 Ontologie : la « vitesse instantanée » n’est pas une vitesse

2.2.1 Théorie « à-à » de Russell

En réponse au paradoxe de la flêche de Zénon, Bertrand Russell soutient dans sa théorie dite « à-à » qu’il est absurde de parler d’« état de mouvement », c‘est-à-dire de mouvement à un instant $t$ , puisqu’un mouvement — le fait pour un objet d’être ici à un instant, et là à un autre instant (« à-à ») — suppose une relation entre deux instants distincts et deux positions distinctes, puis étend son raisonnement au principé d’« état de vitesse » (vitesse instantanée) :

« Nous devons rejeter entièrement la notion d’un état de mouvement. Le mouvement consiste seulement en l’occupation de différents lieux à des moments différents, sous réserve de la continuité telle qu’elle est expliquée dans la Partie V. Il n’y a pas de transition d’un lieu à un autre, pas de moment consécutif ni de position consécutive, il n’y a pas de chose telle que la vitesse sauf au sens d’un nombre réel qui est la limite d’un certain ensemble de quotients. Le rejet de la vitesse et de l’accélération comme faits physiques (c’est-à-dire comme propriétés appartenant à chaque instant à un point en mouvement, et non pas seulement comme nombres réels exprimant les limites de certains rapports) entraîne, comme nous le verrons, certaines difficultés dans l’énoncé des lois du mouvement ; mais la réforme introduite par Weierstrass dans le calcul infinitésimal a rendu ce rejet impératif. » (Russell, 1937, p. 473)⁵

En effet, une « vitesse instantanée » — une vitesse à un instant $t$ — ne peut pas être une vitesse, par définition minimale d’une vitesse qui suppose une relation entre deux instants distincts $t_{initial}$ et $t_{final}$ .
Cette impossibilité se traduit mathématiquement, si l’on tente de ne considérer qu’un seul et même instant avec $t_{final} = t_{initial}$ , en une division par $0$ mathématiquement indéfinie :

\overset{ˉ}{v}_{t_{i} t_{f}} = \frac{x ( t _{f} ) - x ( t _{i} )}{t _{f} - t _{i}} = \frac{x ( t _{i} ) - x ( t _{i} )}{t _{i} - t _{i}} = \frac{0}{0}

2.2.2 Théorie de la disposition cinématique subjonctive de Lange

Le philosophe de la physique Lange (2005)⁶ reconnait qu’il ne s’agit pas d’une vitesse instantanée, et défend qu’il s’agit plutôt d’une propriété intrinsèque de disposition cinématique subjonctive (une propriété subjonctive est une propriété qui ne se manifeste que dans certaines conditions contrefactuelles, et non dans des conditions réelles).

Il argumente que la limite $lim_{Δ t \to 0} \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t}$ serait une propriété intrinsèque à l’instant $t$ en ce qu’elle ne dépendrait que d’un seul instant réel $t$ , et que l’on devrait interpréter le second instant $t + Δ t$ comme un futur hypothétique contrefactuel.
La limite décrirait alors le comportement de l’objet après l’instant $t$ si (condition), hypothétiquement, il continuait inertiellement — sans l’influence de forces extérieures — son mouvement.

2.2.3 Théorie de la propriété de voisinage d’Arntzenius et Harrington

Le philosophe de la physique Frank Arntzenius (2000) reconnait qu’il ne s’agit pas d’une vitesse instantanée, et défend que la limite $lim_{Δ t \to 0} \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t}$ ne peut pas être une propriété intrinsèque, car elle dépend de deux instants $t$ et $t + Δ t$ . Il parle alors de propriété extrinsèque de voisinage.⁷

Mais son argument ne répond pas à la proposition postérieure de Lange (2005) d’une disposition cinématique subjonctive suggérant une dépendance à un seul instant réel. En revanche, Arntzenius ajoute que pour que la limite $lim_{Δ t \to 0}$ puisse exister mathématiquement (pour que la fonction soit différentiable en $t$ ), la limite à droite $(lim_{Δ t \to 0^{+}})$ doit être égale à la limite à gauche $(lim_{Δ t \to 0^{-}})$ .⁷ Or, puisque cette limite à gauche dépend d’un autre instant réel antérieur à $t$ , la limite $lim_{Δ t \to 0}$ dépend donc de différents états réels, ce qui réfute la proposition de propriété intrinsèque de Lange.

Le philosophe de la physique James Harrington (2011) plussoie la position d’Arntzenius de propriété (extrinsèque) de voisinage, et renforce sa critique de Lange en montrant de trois manières que la limite $lim_{Δ t \to 0}$ dépend de la structure du passé réel avant $t$ :⁸

Pour qu’une fonction soit différentiable en $t$ , elle doit être continue au voisinage (à gauche et à droite) de $t$ ; il s’ensuit que la limite en $lim_{Δ t \to 0}$ dépend d’états réels antérieurs (à gauche).
Pourqu’une fonction soit différentiable en $t$ , elle doit être lisse au voisinage (à gauche et à droite) de $t$ ; il s’ensuit que la limite en $lim_{Δ t \to 0}$ dépend d’états réels antérieurs (à gauche).
En mécanique classique, le temps est considéré comme continu et modélisé par l’ensemble mathématique $R$ . Or, dans une fonction continue, un point n’est pas isolé en ceci qu’il est défini comme limite séparant deux intervalles — un point est une coupure de Dedekind — ; il s’ensuit que la limite en $lim_{Δ t \to 0}$ dépend d’états réels antérieurs (à gauche).

Il ajoute que la manifestation potentielle et conditionnelle sur laquelle repose la disposition cinématique de Lange ne peut en réalité jamais être actualisée, car il ne peut pas exister de trajectoire purement inertielle dans l’univers qui comprend plusieurs corps — cette manifestation est nomologiquement impossible (impossible selon les lois de la nature). Ce qui montre, là encore, qu’une telle propriété intrinsèque n’a pas de réalité physique.

La position d’Arntzenius et Harrington est prédominante sur ce sujet dans la philosophie de la physique académique.

2.2.4 Théorie du mouvement discontinu aléatoire de Shan Gao

Le philosophe de la physique Shan Gao (2013) défend la théorie hétérodoxe du mouvement discontinu aléatoire, en rupture avec la mécanique classique puisqu’il affirme que le mouvement est indéterministe et rejette la continuité du mouvement au niveau fondamental, considérant que son apparence continue n’est qu’une illusion macroscopique. Il soutient que la trajectoire réelle consisite en des sauts discontinus aléatoires entre positions distinctes.⁹

A l’équation newtonienne $lim_{Δ t \to 0} \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t}$ fondée sur une limite (nécessitant une conception continue du temps rejetée par Gao), il substitue l’équation quantique de densité de probabilité de présence à un instant $t$ :

P (x, t) \cdot d x = ∣ ψ (x, t) ∣^{2} \cdot d x

Il considère donc qu’il n’y a pas de « vitesse instantanée », mais plutôt une propriété intrinsèque de disposition cinématique où, contrairement à Lange (2005), le caractère cinématique désigne une vitesse de saut de la nature d’une potentialité probabiliste.

2.3 Meilleure approximation non exacte possible de la vitesse vectorielle moyenne infinitésimale

Quelle que soit la nature de cette propriété définie par la limite $lim_{Δ t \to 0} \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t}$ et appelée à tort « vitesse instantanée », elle s’avère, sur le plan pragmatique, la meilleure approximation non exacte possible de la vitesse vectorielle moyenne infinitésimale,¹⁰ de l’instant $t$ à l’instant infinitésimalement proche (le plus proche possible que l’on puisse concevoir) $t^{'}$ .

Par exemple, si $lim_{Δ t \to 0} \frac{x ( t + Δ t ) - x ( t )}{Δ t} = 2$ , alors la meilleure approximation non exacte possible de la vitesse vectorielle moyenne infinitésimale $\overset{ˉ}{v}_{t t^{'}} = \frac{x ( t ^{'} ) - x ( t )}{t ^{'} - t}$ est $2 m \cdot s^{- 1}$ .

Du fait de la limite, la vitesse infinitésimale exacte tend vers $2$ , c’est-à-dire s’approche le plus possible que l’on puisse concevoir de $2$ mais ne peut pas être $2$ . Or, quelle que soit la valeur proche de $2$ que nous proposerions ( $1.9$ , $1.99$ , $1.999$ , $1.99999$ , $1.99999999 \dots$ , $2.1$ , $2.01$ , $2.001$ , $2.00001$ , $2.00000001 \dots$ ) en espérant tomber sur la valeur exacte de cette vitesse infinitésimale, et dans la mesure où dans une fonction continue sur $R$ il y aurait encore une infinité de valeurs entre cette proposition et $2$ , alors il y aurait toujours une valeur plus proche de $2$ que cette proposition, et cette proposition ne pourrait donc jamais s’avérer être la vitesse infinitésimale exacte, et serait toujours une moins bonne approximation que $2$ , qui est la meilleure approximation non exacte possible.

Paradoxe

Que la valeur donnée par la limite soit une approximation non exacte de la vitesse infinitésimale, suppose qu’il existe une valeur exacte de la vitesse infinitésimale. Or, si toute autre valeur proposée ne peut jamais, non plus, être la valeur exacte, il s’ensuit que la valeur exacte n’existe pas.

Ce paradoxe est dû au paradigme mathématique transfinitiste (s’appuyant sur l’hypothèse de continuité et l’ensemble $R$ ) jugé absurde par les mathématiciens défendant le paradigme du finitisme et qui, selon moi, mine la recherche fondamentale en physique.

Galilée. (1638). Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles. ↩
Lewin, W. (1999, Fall). “MIT 8.01x – Physics I: Classical mechanics”. Massachusetts Institute of Technology. ↩ ↩² ↩³
Newton, I. (1679, 13 December). “Letter to Robert Hooke”. In H. W. Turnbull (Ed.), The correspondence of Isaac Newton (Vol. 2, pp. 300–303). Cambridge University Press. ↩
Newton, I. (1684). De motu corporum in gyrum [Manuscript]. Cambridge University Library, Cambridge, UK (MS Add. 3965.7, ff. 55-62). ↩
Russell, B. (1937). The Principles of Mathematics (2nd ed.). London: George Allen & Unwin. ↩
Lange, M. (2005). “How Can Instantaneous Velocity Fulfill Its Causal Role?“. The Philosophical Review, 114(4):433–468. https://doi.org/10.1215/00318108-114-4-433 ↩
Arntzenius, F. (2000). “Are There Really Instantaneous Velocities?”. The Monist, 83(2):187–208. https://doi.org/10.5840/monist20008328 ↩ ↩²
Harrington, J. (2011). “Instants and Instantaneous Velocity” [Preprint]. PhilSci-Archive. https://philsci-archive.pitt.edu/8675/ ↩
Gao, S. (2013). “Can continuous motion be an illusion?” [Preprint]. PhilSci-Archive. https://philsci-archive.pitt.edu/9501/ ↩
Sanderson, G. (2017, April 29). “The paradox of the derivative | Chapter 2, Essence of calculus”. Youtube: 3Blue1Brown. ↩

Ludwig A.

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